Достижимые корреляции для экспоненциальных случайных величин

Каков диапазон достижимых корреляций для пары экспоненциально распределенных случайных величин и , где - это параметры ставки?$X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$$X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$$\lambda_1, \lambda_2 > 0$

Пусть (соответственно \ rho _ {\ max} ) обозначает нижнюю (соответственно верхнюю) границу достижимой корреляции между X_1 и X_2 . Границы \ rho _ {\ min} и \ rho _ {\ max} достигаются, когда X_1 и X_2 являются соответственно контрмонотонными и комонотонными (см. Здесь ).$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

Нижняя граница
Чтобы определить нижнюю границу мы построим пару контрмонотонных экспоненциальных переменных и вычислим их корреляцию.$\rho_{\min}$

Необходимое и достаточное условие , упомянутые здесь , и вероятность интегрального преобразование обеспечивает удобный способ построения случайных величин и таким образом, что они являются countermonotonic. Напомним, что экспоненциальная функция распределения равна , поэтому квантильная функция равна .$X_1$$X_2$
$F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$$F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$

Пусть - равномерно распределенные случайные величины, тогда также равномерно распределены и случайные величины имеют экспоненциальное распределение со и соответственно. Кроме того, они контрмонотонны, поскольку и , а функции и соответственно увеличиваются и уменьшаются.$U\sim U(0, 1)$$1-U$

$$X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U)$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$X_1 = h_1(U)$$X_2 = h_2(U)$$h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$

Теперь давайте вычислим соотношение и . По свойствам экспоненциального распределения имеем , , и . Кроме того, у нас есть где$X_1$$X_2$${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align}$$ $f_U(u) \equiv 1$является функцией плотности стандартного равномерного распределения. Для последнего равенства я полагался на WolframAlpha .

Таким образом, Обратите внимание, что нижняя граница не зависит от скоростей и , и что корреляция никогда не достигает , даже когда оба поля равны (то есть, когда ).

$$\begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$-1$$\lambda_1 = \lambda_2$

Верхняя граница
Для определения верхней границы мы используем аналогичный подход с парой комонотонных экспоненциальных переменных. Теперь пусть и где и , которые являются возрастающими функциями. Таким образом, эти случайные величины являются комонотонными и экспоненциально распределены со скоростями и .$\rho_{\max}$$X_1 = g_1(U)$$X_2 = g_2(U)$$g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$$\lambda_1$$\lambda_2$

У нас есть и, таким образом, Аналогично нижней границе, верхняя граница не зависит от скоростей и .

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$