Ожидаемое количество раз, когда эмпирическое среднее будет превышать значение

11

Принимая во внимание последовательность одинаково распределенных случайных величин, скажем, для я = 1 , 2 , . , , , П , я пытаюсь связали ожидаемое количество раз эмпирических средних 1Xi[0,1]i=1,2,...,nбудет превышать значение,c0, так как мы продолжаем рисовать выборки, то есть: T d e f = n j=1P({ 11ni=1nXic0

T=defj=1nP({1ji=1jXic})

Если предположить, что для некоторого a > 0 , мы можем использовать неравенство Хеффдинга, чтобы прийти кc=a+E[X]a>0

Tj=1ne2ja2=1e2a2ne2a21

Что выглядит неплохо (может быть), но на самом деле это довольно слабая граница, есть ли лучшие способы ограничить это значение? Я ожидаю, что может быть способ, поскольку различные события (для каждого ) явно не независимы, я не знаю ни одного способа использовать эту зависимость. Также было бы неплохо снять ограничение, что c больше среднего.jc

edit : ограничение на , превышающее среднее значение, может быть снято, если мы используем неравенство Маркова следующим образом:c

Что является более общим, но гораздо хуже, чем приведенная выше оценка, хотя ясно, чтоTдолжен расходиться всякий раз, когдаcE[X].

Tj=1n1jE[X]c=E[X]Hnc
TcE[X]
fairidox
источник
Tj×cc0T=n(n+1)/2
@ whuber О, хорошо, хорошо, спасибо, я исправил это выше.
fairidox
Я заметил, что вы изменили свою верхнюю границу. Теперь это кажется отрицательным ;-).
whuber
j

Ответы:

1

x¯jFj

T=defj=1n(1Fj(c))=nj=1nFj(c)

mG^

T=nj=1mFj(c)j=m+1nG^j(c)<nj=m+1nG^j(c)

G^j(c)

G^j(c)=1Φ(jσ(μc))
Φσμ

T<m+j=m+1nΦ(jσ(a))

m=30[0,1]σ=112μ=12a=0.05n=34n>30n=10078.536.2199.538.5aa=0.149.530.5
n

Hb1e2a21
Abm

aHbAb

Алекос Пападопулос
источник
« (т. е. не более предполагаемого порога размера выборки, необходимого для получения нормального приближения в распределении среднего значения выборки) » о чем вы здесь говорите?
Glen_b
30.5m+0.5j=m+1nΦ(jσ(a))
Если вы не можете указать обстоятельства, при которых это имеет место , пожалуйста, не называйте это эмпирическим правилом в каком-либо общем смысле. Цифра 30 является абсолютно произвольной (обычно либо слишком слабой, либо слишком сильной), и эта цифра 30 также появляется в вашем случае, я считаю, простым совпадением.
Glen_b
1
@Glen_b «30» не было даже совпадением - я просто использовал его, чтобы привести числовой пример. Я не возражаю против этого вопроса, мне не нравятся «практические правила» (особенно когда они сомнительны). Я внес некоторые изменения в свой ответ. Спасибо за вклад.
Алекос Пападопулос
@Glen_b Спасибо за возможно нестационарную (т.е. долгую) память!
Алекос Пападопулос