Я надеюсь, что это правильное место, чтобы спросить, если не стесняйтесь перенести его на более подходящий форум.
Я довольно долго размышлял о том, как обрабатывать неквадратные интегрируемые функции с помощью интеграции Монте-Карло. Я знаю, что MC все еще дает правильную оценку, но ошибка нереальна (расходится?) Для такого рода функций.
Давайте ограничим нас одним измерением. Интеграция Монте-Карло означает, что мы приближаем интеграл
используя оценку
с равномерно распределенными случайными точками. Закон больших чисел гарантирует, что . Выборочная дисперсия
аппроксимирует дисперсию распределения, индуцированного . Однако, если не является квадратично интегрируемым, т.е. интеграл от квадрата функции расходится, это подразумевает
Это означает, что дисперсия также расходится.
Простой пример - функция
для которого и .
Если конечно, можно приблизить ошибку среднего помощью , но что если не является квадратично интегрируемым? f(x)
источник
Ответы:
Вы можете просто использовать другие меры масштаба / дисперсии, такие как межквантовый диапазон, на которые не влияет асимптотика хвоста и, следовательно, квадратная интегрируемость. С дополнительным преимуществом, что зачастую они в целом более устойчивы.
Очевидно, что их следует применять к передискретизации / начальной загрузке с последующей оценкой среднего значения, а не непосредственно к исходному результату выборки MC функции перед усреднением. Вы также можете в общем проверить L-оценки и адаптировать один из них, чтобы объединить эти два шага в один для повышения производительности, но мысленно эти два распределения не следует путать, даже если PDF-файл оценки естественным образом наследует некоторые характеристики (включая, возможно, отсутствие квадрата). интегрируемость).
источник