Установка априора на параметр концентрации в процессе Дирихле

В основном это фон, пропустите до конца, если вы уже достаточно знаете о технологических смесях Дирихле . Предположу , я моделирование некоторых данных как поступающие из смеси процессов Дирихля, т.е. пусть и зависимость от F Предположит Y я я я д ~ ∫ F ( у | & thetas ) Р ( д θ ) $F \sim \mathcal D(\alpha H)$$F$

$$Y_i \stackrel {iid}{\sim} \int f(y | \theta) F(d\theta).$$

Здесь и α H - предшествующая базовая мера. Оказывается, что если для каждого наблюдения Y i , если я знаю соответствующий скрытый θ i , вероятность α в этой модели равна L ( α | t ) ∝ α t Γ ( α $\alpha > 0$$\alpha H$$Y_i$$\theta_i$$\alpha$ гдеt- число различных значенийθi(случайная мераFпочти наверняка дискретна). Эскобар и Уэстразрабатывают следующую схему отбора пробαс использованием гамма-измерения; сначала пишутπ(α|t)∝π(α)αtΓ(α

$$L(\alpha | t) \propto \frac{\alpha^t\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)}$$ $t$$\theta_i$$F$$\alpha$ где В ( ⋅ , ⋅ ) является бетафункция. Затем обратите внимание, что если мы введем скрытый параметр X ∼ Beta ( α + 1 , n $$\pi(\alpha | t) \propto \pi(\alpha) \frac{\alpha^t\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)} \propto \pi(\alpha)\alpha^{t - 1}(\alpha + n){B(\alpha + 1, n)} \\= \pi(\alpha)\alpha^{t - 1} (\alpha + n) \int_0^1 x^\alpha(1 - x)^{n - 1} \ dx,$$ $B(\cdot, \cdot)$$X \sim \mbox{Beta}(\alpha + 1, n )$ тогда вероятность имеет вид смеси гамма-распределений и использует ее для записи сэмплера Гиббса.

$$L(\alpha | t) \propto \frac{\alpha^t \Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)} = \frac{\alpha^t \Gamma(n)\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)\Gamma(n)} = \alpha^t B(\alpha, n) \Gamma(n) \\ \propto \alpha^t \int_0 ^ 1 x^{\alpha - 1} (1 - x)^{n - 1} \ dx,$$ $X \sim \mbox{Beta}(\alpha, n)$

$\alpha$$a$$a / b$

$$\pi(\alpha | t) \propto \alpha^{a + t - 2} (\alpha + n) e^{-b\alpha} \int_0 ^ 1 x^{\alpha} (1 - x)^{n - 1} \ dx$$ $X$ $$\pi(\alpha, x | t) \propto \alpha^{a + t - 2} (\alpha + n) e^{-b\alpha}x^{\alpha}(1 - x)^{n - 1}.$$ $\mbox{Beta}(\alpha + 1, n)$$X$$\mathcal G(a + t, b - \log(x))$$\mathcal G(a + t - 1, b - \log(x))$$\alpha$

$\mbox{Beta}(\alpha, n)$$X$$\mathcal G(a + t, b - \log(x))$$\alpha$

Я не понимаю, как то, что вы написали, принципиально отличается от Эскобара и Запада.

$$\begin{eqnarray*} \pi(\alpha|t) &\propto& \pi(\alpha)\pi(t|\alpha) = \pi(\alpha)L(\alpha|t) \\ &\propto& \pi(\alpha)\alpha^t\frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha+n)} \\ &\propto& \pi(\alpha)\alpha^t\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha+n)} \\ &=& \pi(\alpha)\alpha^tB(\alpha,n) \\ &=& \pi(\alpha)\alpha^{t-1}(\alpha+n)B(\alpha+1,n) \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \alpha B(\alpha,n) &=& \alpha \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha + n)} = \frac{(\alpha\Gamma(\alpha))\Gamma(n)(\alpha+n)}{(\Gamma(\alpha + n)(\alpha+n))} = (\alpha+n) \frac{\Gamma(\alpha + 1)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha + n + 1)} \\ &=& (\alpha+n)B(\alpha+1,n) \end{eqnarray*}$$ $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$

Я предполагаю, что они предпочли свою формулировку вашей, потому что она имеет только термин бета-функции, а не продукт бета-версии и гаммы, но я могу ошибаться. Я не совсем поняла последний бит, который вы написали, не могли бы вы более подробно рассказать о вашей схеме выборки?