Концептуальное различие между гетероскедастичностью и нестационарностью

У меня возникают проблемы с разграничением понятий скедастичность и стационарность. Насколько я понимаю, гетероскедастичность отличается вариабельностью в подгруппах населения, а нестационарность - это изменение среднего значения / дисперсии во времени.

Если это правильное (хотя и упрощенное) понимание, является ли нестационарность просто частным случаем гетероскедастичности во времени?

Чтобы дать точные определения, пусть - действительные случайные величины.$X_1, \ldots, X_n$

Стационарность обычно определяется только в том случае, если мы рассматриваем индекс переменных как время . В этом случае последовательность случайных величин является стационарной из имеет то же распределение, что и . Это подразумевает, в частности, что для имеют одинаковое предельное распределение и, следовательно, одинаковое предельное среднее значение и дисперсию (учитывая, что они имеют конечный второй момент).$X_1, \ldots, X_{n-1}$$X_2, \ldots, X_n$$X_i$$i = 1, \ldots, n$

Смысл гетероскедастичности может зависеть от контекста. Если маргинальные дисперсии изменяются с (даже если среднее значение постоянное), случайные величины называются гетероскедастичными в смысле не гомоскедастичности.$X_i$$i$

В регрессионном анализе мы обычно рассматриваем дисперсию ответа условно на регрессоры, и мы определяем гетероскедастичность как непостоянную условную дисперсию.

В анализе временных рядов, где терминология условной гетероскедастичности является общей, обычно интерес представляет дисперсия условно относительно . Если эта условная дисперсия непостоянна, мы имеем условную гетероскедастичность. Модель ARCH (авторегрессионная условная гетероскедастичность) является наиболее известным примером модели стационарных временных рядов с непостоянной условной дисперсией.$X_k$$X_{k-1}, \ldots, X_1$

Гетероскедастичность (в частности, условная гетероскедастичность) не подразумевает нестационарность в целом.

Стационарность важна по ряду причин. Одно простое статистическое следствие состоит в том, что среднее является тогда несмещенной оценкой ожидания (и предполагающего эргодичность , которая немного больше чем стационарность и часто подразумевается неявно, среднее является последовательной оценкой ожидания для ).

Важность гетероскедастичности (или гомоскедастичности) со статистической точки зрения связана с оценкой статистической неопределенности, например, вычислением доверительных интервалов. Если вычисления выполняются в предположении о гомоскедастичности, тогда как данные фактически показывают гетероскедастичность, результирующие доверительные интервалы могут вводить в заблуждение.

Временной ряд является стационарным, если все его статистические свойства не зависят от времени возникновения. Если это требование не выполняется, временной ряд не является стационарным.

Даже стационарный временной ряд не может быть описан на основе только одной записи выборки. Его статистические свойства должны быть проанализированы путем усреднения по ансамблю записей выборок в разных временных точках.

Если статистические свойства одинаковы для какой-либо отдельной записи выборки и для случая, когда они определяются путем усреднения по ансамблю, временной ряд является эргодическим.

Поскольку статистические свойства гетероскедактического временного ряда зависят от времени, он не является стационарным и, конечно, не эргодическим. Его свойства, определенные для одной записи образца, не могут быть расширены до ее прошлого и будущего поведения.

Кстати, корреляционный / регрессионный анализ не может быть применен к временным рядам, поскольку зависимость между ними (функция когерентности) зависит от частоты и может быть охарактеризована с помощью (многомерных) уравнений для стохастических разностных уравнений (временная область) или функции (ей) частотной характеристики. (частотная область).

Расширение регрессионного анализа, разработанного для случайных величин, до временных рядов является ошибочным (например, см. Bendat and Piersol, 2010; Box et al., 2015).

Есть 3 степени стационарных. Слабая форма требует среднего, а дисперсия поддерживается постоянной. Это означает, что из 3 стационарных определений более строгие требования, чем гетероскедастичность, потому что гетероскедастичность означает постоянную дисперсию, без ссылки на среднее значение.

Процесс может иметь гетероскедастичность. Но если его среднее значение не является постоянным, то процесс не является (слабо) стационарным.

Стационарный процесс (обозначим его «S») подразумевает гомоскедастичность (обозначим его «H»). Итак, S -> H.

Естественно, его противопоставление также верно . Таким образом, H '-> S', то есть из негомоскедастичности следует нестационарность.

Но инверсия и отрицание не соответствуют действительности . Другими словами:

«Нестационарный подразумевает негомоскедастичность» не соответствует действительности.

«Существует стационарный процесс, который не является гомоскедастичностью», это неправда.