Центральные моменты симметричных распределений

Я пытаюсь показать, что центральный момент симметричного распределения: равен нулю для нечетных чисел. Так, например, третий центральный моментЯ начал с попытки показать, чтоЯ не уверен, куда идти отсюда, какие-либо предложения? Есть ли лучший способ доказать это?

$${\bf f}_x{\bf (a+x)} = {\bf f}_x{\bf(a-x)}$$ $${\bf E[(X-u)^3] = 0}.$$ $${\bf E[(X-u)^3] = E[X^3] -3uE[X^2] + 3u^2E[X] - u^3}.$$

Этот ответ призван сделать демонстрацию настолько элементарной, насколько это возможно, потому что такие вещи часто доходят до основной идеи. Эти только факты , необходимые (помимо простейшего вида алгебраических манипуляций) являются линейность интеграции (или, что то же самое, ожидания), изменение переменных формулы для интегралов, а аксиомой результатом , что PDF интегрируется до единицы.

Мотивация этой демонстрации заключается в том, что когда симметричен относительно , то вклад любой величины в ожидание будет иметь тот же вес, что и величина , потому что и находятся на противоположных сторонах от и одинаково далеко от него. При условии, что для всех , все отменяется, и ожидание должно быть равно нулю. Соотношение между и , следовательно, является нашей отправной точкой. a G ( x ) E X ( G ( X ) ) G ( 2 a - x ) x 2 a - x a G ( x ) = - G ( 2 a - x ) x x 2 a - $f_X$$a$$G(x)$$\mathbb{E}_X(G(X))$$G(2a-x)$$x$$2a-x$$a$$G(x) = -G(2a-x)$$x$$x$$2a-x$

---

Заметьте, записав , что симметрия также может быть выражена соотношением$y = x + a$

$$f_X(y) = f_X(2a-y)$$

для всех . Для любой измеримой функции однозначное изменение переменной с на меняет на , изменяя направление интегрирования, подразумеваяG x 2 a - x d x - d $y$$G$$x$$2a-x$$dx$$-dx$

$$\mathbb{E}_X(G(X)) = \int G(x) f_X(x)dx = \int G(x) f_X(2a - x)dx = \int G(2a-x)f_X(x)dx.$$

Предполагая, что это ожидание существует (то есть интеграл сходится), линейность интеграла подразумевает

$$\int \left(G(x) - G(2a - x)\right)f_X(x)dx = 0.$$

Рассмотрим нечетные моменты относительно , которые определяются как ожидания , . В этих случаяхG k , a ( X ) = ( X - a ) k k = 1 , 3 , 5 , $a$$G_{k,a}(X) = (X-a)^k$$k = 1, 3, 5, \ldots$

$$\eqalign{ G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a-x) &= (x-a)^k - (2a-x-a)^k \\&= (x-a)^k - (a-x)^k \\ &= (1^k - (-1)^k)(x-a)^k \\&= 2(x-a)^k,}$$

именно потому, что нечетно. Применение предыдущего результата дает$k$

$$0 = \int \left(G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a - x)\right)f_X(x)dx = 2\int (x-a)^k f_X(x)dx.$$

Поскольку правая часть в два раза больше го момента относительно , деление на показывает, что этот момент равен нулю всякий раз, когда он существует.$k$$a$$2$

Наконец, среднее (если оно существует)

$$\mu_X = \mathbb{E}_X(X) = \int x f_X(x)dx = \int (2a-x)f_X(x)dx.$$

Еще раз используя линейность и вспоминая, что потому что - это распределение вероятностей, мы можем переставить последнее равенство для чтенияf $\int f_X(x)dx=1$$f_X$

$$2\mu_X = 2\int x f_X(x)dx = 2a\int f_X(x)dx = 2a\times 1 = 2a$$

с уникальным решением . Поэтому все наши предыдущие вычисления моментов о являются действительно центральными моментами, QED.$\mu_X = a$$a$

---

Postword

Необходимость деления на в нескольких местах связана с тем, что существует$2$ группа порядка действующая на измеримые функции (а именно, группа, порожденная отражением в линии вокруг ). В более общем смысле идея симметрии может быть обобщена на действие любой группы. Теория групповых представлений подразумевает, что когда персонаж$2$$a$этого действия на функцию не является тривиальным, оно ортогонально тривиальному символу, и это означает, что ожидание функции должно быть нулевым. Отношения ортогональности включают сложение (или интегрирование) по группе, откуда размер группы постоянно появляется в знаменателях: ее мощность, когда она конечна, или ее объем, когда она компактна.

Красота этого обобщения становится очевидной в приложениях с явной симметрией , таких как механические (или квантово-механические) уравнения движения симметричных систем, примером которых является молекула бензола (которая имеет 12-элементную группу симметрии). (Приложение QM здесь наиболее уместно, потому что оно явно рассчитывает ожидания.) Значения физического интереса, которые обычно включают многомерные интегралы тензоров, могут быть вычислены не с большей трудоемкостью, чем здесь, просто зная символы, связанные с подинтегральные. Например, «цвета» различных симметричных молекул - их спектры на разных длинах волн - можно определить ab initio с помощью этого подхода.