Как проверить, является ли

Предположим , у меня есть три независимые группы, со средним значением $\mu_1,~ \mu_2,~\mu_3$ соответственно.

Как я могу проверить, $\mu_1 < \mu_2 <\mu_3$ или нет, используя $n_1,~n_2,~n_3$ образца из каждой группы?

Я хотел бы знать некоторую общую методологию, а не подробный расчет. Я не мог понять, как установить мою гипотезу $H_0$ и $H_1$ .

В статистике вы не можете проверить, является ли X истинным или нет. Вы можете только попытаться найти доказательства того, что нулевая гипотеза неверна.

Допустим, ваша нулевая гипотеза

$$H_0^1: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3.$$ Также предположим, что у вас есть способ оценить вектор $\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)'$ . Для простоты предположим, что у вас есть оценщик $$x \sim N(\mu, \Sigma),$$ где $\Sigma$ равен $3 \times 3$ковариатная матрица 3 . Мы можем переписать нулевую гипотезу как $$A \mu < 0,$$ где = [ 1 - 1 0 0 1 - 1 ] . Это показывает, что ваша нулевая гипотеза может быть выражена как ограничение неравенства на векторе A μ . Естественная оценка A µ определяется как A x ∼ N ( A μ , A Σ A ′ ) . Теперь вы можете использовать каркас для проверки ограничения неравенства на нормальных векторах, заданного в: $$A = \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{bmatrix}.$$ $A \mu$$A\mu$ $$A x \sim N(A\mu, A\Sigma A').$$

Кудо, Акио (1963). «Многомерный аналог одностороннего теста». В кн .: Биометрика 50,3/4, с. 403–418.

Этот тест также будет работать, если предположение о нормальности выполняется только приблизительно («асимптотически»). Например, это сработает, если вы сможете взять примерные средства из групп. Если вы рисуете образцы размером $n_1, n_2, n_3$ и если вы можете рисовать независимо от групп, то $\Sigma$ является диагональной матрицей с диагональю

$$(\sigma_1^2/n_1, \sigma_2^2/n_2, \sigma_3^2/n_3)',$$ где $\sigma_k^2$- дисперсия в группе $k = 1, 2, 3$ . В приложении вы можете использовать выборочную дисперсию вместо неизвестной популяции без изменения свойств теста.

$$H_1^2: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3$$ $$H_0^2: \text{NOT $H_1$}.$$ $H_1: A\mu <0$ $$H_0^2: \text{there exists a $k=1,2$ such that $(A\mu)_k \geq 0$}.$$ $$H_{0,1}^2: (A\mu)_1 \geq 0.$$ $$H_{0,2}^2: (A\mu)_2 \geq 0.$$ $H_0$$H_0$$H_0$$\Sigma$

$H_0^2$

$$H_0^2: \max_{k=1,2} (A\mu)_k \geq 0.$$ $\max Ax$

Ответ, предоставленный @ andreas-dzemski, верен, только если мы знаем, что данные обычно распространяются.

Если мы не знаем распределение, я считаю, что было бы лучше выполнить непараметрический тест. В этом случае простейшим кажется запустить тест перестановки. Это книга на эту тему, и это хорошее онлайн-объяснение. Ниже я включаю код R для вычисления этого теста.

# some test data
D <- data.frame(group1=c(3,6,2,2,3,9,3,4,2,5), group2=c(5,3,10,1,10,2,4,4,2,2), group3=c(8,0,1,5,10,7,3,4,8,1))

# sample with replacement
resample <- function(X) sample(X, replace=TRUE)

# return true if mu1 < mu2 < mu3
test     <- function(mu1, mu2, mu3) (mu1 < mu2) & (mu2 < mu3)

# resampling test that returns the probability of observing the relationship
mean(replicate(1000, test(mean(resample(D$group1)), mean(resample(D$group2)), mean(resample(D$group3)))))