Как я могу проверить, существенно ли отличаются оценки двух параметров в одной и той же модели?

У меня есть модель

$$y=x^a \times z^b + e$$

где - зависимая переменная, и - объясняющие переменные, и - параметры, а - термин ошибки. У меня есть оценки параметров и и ковариационная матрица этих оценок. Как мне проверить , значительно ли отличаются и ?$y$$x$$z$$a$$b$$e$$a$$b$$a$$b$

Оценка гипотезы о том, что и различны, эквивалентна проверке нулевой гипотезы$a$$b$$a - b = 0$ (против альтернативы ).$a-b\ne 0$

Следующий анализ предполагает, что для вас разумно оценить как Он также принимает вашу модельную формулировку (которая часто является разумной), которая - поскольку ошибки являются аддитивными (и могут даже привести к отрицательным наблюдаемым значениям ) - не позволяет нам линеаризовать ее , взяв логарифмы обеих сторон.$a-b$

$$U = \hat a - \hat b.$$ Y$y$

Дисперсия может быть выражена в терминах ковариационной матрицы из как$U$$(c_{ij})$$(\hat a, \hat b)$

$$\operatorname{Var}(U) = \operatorname{Var}(\hat a - \hat b) = \operatorname{Var}(\hat a) + \operatorname{Var}(\hat b) - 2 \operatorname{Cov}(\hat a, \hat b) = c_{11} + c_{22} - 2c_{12}^2.$$

Когда является оценена с методом наименьших квадратов, один , как правило , использует «T тест;» то есть распределение аппроксимируется распределением Стьюдента t с степенями свободы (где - количество данных, а - количество коэффициентов ). Независимо от этого, обычно является основой любого теста. Вы можете выполнить Z-тест (когда большое или при подборе с максимальным правдоподобием) или загрузить его, например.$(\hat a, \hat b)$т = U / √

$$t = U / \sqrt{\operatorname{Var(U)}}$$ n-2n2tn$n-2$$n$$2$$t$$n$

Чтобы быть точным, р-значение t-теста определяется как

$$p = 2t_{n-2}(-|t|)$$

где - функция распределения t (накопительная) Стьюдента. Это одно выражение для «хвостовой области»: вероятность того, что переменная Стьюдента t (с степенями свободы) равна или превышает размер статистики теста,$t_{n-2}$$n-2$$|t|.$

---

В целом, для чисел и вы можете использовать точно такой же подход, чтобы проверить любую гипотезу$c_1,$ $c_2,$$\mu$

$$H_0: c_1 a + c_2 b = \mu$$

против двусторонней альтернативы. (Это охватывает особый, но широко распространенный случай «контраста» .) Используйте оценочную матрицу дисперсии-ковариации чтобы оценить дисперсию и сформировать статистику$(c_{ij})$$U = c_1 a + c_2 b$

$$t = (c_1 \hat a + c_2 \hat b - \mu) / \sqrt{\operatorname{Var}(U)}.$$

Вышеизложенным является случай и$(c_1,c_2) = (1,-1)$$\mu=0.$

---

Чтобы убедиться, что этот совет верен, я запустил следующий Rкод, чтобы создать данные в соответствии с этой моделью (с нормально распределенными ошибками e), подогнать их и вычислить значения много раз. Проверка состоит в том, что график вероятности (основанный на предполагаемом распределении Стьюдента t) близко следует диагонали. Вот тот график в моделировании размером где (очень маленький набор данных, выбранный, потому что распределение далеко от нормального) и$t$$t$$500$$n=5$$t$= Ь = - 1 / 2.$a=b=-1/2.$

В этом примере, по крайней мере, процедура работает прекрасно. Попробуйте повторить симуляцию, используя параметры (стандартное отклонение ошибки) и , отражающие вашу ситуацию.$a,$ $b,$ $\sigma$$n$

Вот код

#
# Specify the true parameters.
#
set.seed(17)
a <- -1/2
b <- -1/2
sigma <- 0.25 # Variance of the errors
n <- 5        # Sample size
n.sim <- 500  # Simulation size
#
# Specify the hypothesis.
#
H.0 <- c(1, -1) # Coefficients of `a` and `b`.
mu <- 0 
#
# Provide x and z values in terms of their logarithms.
#
log.x <- log(rexp(n))
log.z <- log(rexp(n))
#
# Compute y without error.
#
y.0 <- exp(a * log.x + b * log.z)
#
# Conduct a simulation to estimate the sampling distribution of the t statistic.
#
sim <- replicate(n.sim, {
  #
  # Add the errors.
  #
  e <- rnorm(n, 0, sigma)
  df <- data.frame(log.x=log.x, log.z=log.z, y.0, y=y.0 + e)
  #
  # Guess the solution.
  #
  fit.ols <- lm(log(y) ~ log.x + log.z - 1, subset(df, y > 0))
  start <- coefficients(fit.ols) # Initial values of (a.hat, b.hat)
  #
  # Polish it using nonlinear least squares.
  #
  fit <- nls(y ~ exp(a * log.x + b * log.z), df, list(a=start[1], b=start[2]))
  #
  # Test a hypothesis.
  #
  cc <- vcov(fit)
  s <- sqrt((H.0 %*% cc %*% H.0))
  (crossprod(H.0, coef(fit)) - mu) / s
})
#
# Display the simulation results.
#
summary(lm(sort(sim) ~ 0 + ppoints(length(sim))))
qqplot(qt(ppoints(length(sim)), df=n-2), sim, 
       pch=21, bg="#00000010", col="#00000040",
       xlab="Student t reference value", 
       ylab="Test statistic")
abline(0:1, col="Red", lwd=2)