Доверительные и прогнозные интервалы линейной регрессионной модели

Итак, я пытаюсь понять линейную регрессию. У меня есть набор данных, и все выглядит хорошо, но я в замешательстве. Это моя линейная модель-сводка:

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 0.2068621  0.0247002   8.375 4.13e-09 ***
temp        0.0031074  0.0004779   6.502 4.79e-07 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.04226 on 28 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.6016, Adjusted R-squared: 0.5874 
F-statistic: 42.28 on 1 and 28 DF,  p-value: 4.789e-07 

Таким образом, значение p действительно низкое, что означает, что очень маловероятно, что корреляция между x, y будет случайно получена. Если я нарисую его, а затем нарисую линию регрессии, она будет выглядеть следующим образом: http://s14.directupload.net/images/120923/l83eellv.png (Если бы это было изображение, но я - как новый пользователь - в настоящее время нет разрешено публиковать) Синие линии = доверительный интервал Зеленые линии = интервал прогнозирования

Теперь многие пункты не попадают в доверительный интервал, почему это произошло? Я думаю, что ни одна из точек данных не попадает на линию регрессии, потому что они просто довольно далеко друг от друга, но в чем я не уверен: это реальная проблема? Они все еще находятся вокруг линии регрессии, и вы можете полностью увидеть паттерн. Но достаточно ли этого? Я пытаюсь понять это, но я продолжаю задавать себе одни и те же вопросы снова и снова.

О чем я думал до сих пор: доверительный интервал говорит о том, что если вы вычисляете CI снова и снова, в 95% случаев истинное среднее значение попадает в CI. Итак: Это не проблема, что ДП не попадают в него, так как это на самом деле не средство. Интервал прогнозирования, с другой стороны, говорит, что если вы рассчитываете ПИ снова и снова, в 95% случаев истинное ЗНАЧЕНИЕ попадает в интервал. Таким образом, очень важно иметь точки в нем (которые у меня есть). Тогда я прочитал, что PI всегда должен иметь более широкий диапазон, чем CI. Это почему? Вот что я сделал:

conf<-predict(fm, interval=c("confidence"))
prd<-predict(fm, interval=c("prediction"))

и тогда я нанес это на карту:

matlines(temp,conf[,c("lwr","upr")], col="red")
matlines(temp,prd[,c("lwr","upr")], col="red")

Теперь, если я рассчитываю CI и PI для дополнительных данных, не имеет значения, насколько широко я выбираю диапазон, я получаю те же строки, что и выше. Я не понимаю. Что это обозначает? Это будет тогда:

conf<-predict(fm,newdata=data.frame(x=newx), interval=c("confidence"))
prd<-predict(fm,newdata=data.frame(x=newx), interval=c("prediction"))

для нового х я выбрал разные последовательности. Если последовательность имеет # количество наблюдений, отличных от переменных в моей регрессии, я получаю предупреждение. С чего бы это?

Я понимаю некоторые ваши вопросы, но другие не ясны. Позвольте мне ответить и изложить некоторые факты, и, возможно, это прояснит все ваше замешательство.

Подгонка у вас замечательно хороша. Доверительные интервалы должны быть очень узкими. Существует два типа областей достоверности, которые можно рассмотреть. Область bsimultanoues, которая предназначена для охвата всей функции истинной регрессии с заданным уровнем достоверности.

Другие, на которые вы смотрите, это доверительные интервалы для подогнанных точек регрессии. Они предназначены только для покрытия установленного значения y при заданном значении (значениях) ковариат (ов). Они не предназначены для охвата значений y при других значениях ковариат. На самом деле, если интервалы очень узкие, как и должно быть в вашем случае, они не будут охватывать многие, если какие-либо из точек данных, когда вы уклоняетесь от фиксированных значений ковариат (ов). Для этого типа покрытия вам нужно получить кривые доверия одновременно (верхняя и нижняя границы).

Теперь верно, что если вы прогнозируете ay при заданном значении ковариаты, и вам нужен тот же уровень достоверности для интервала прогнозирования, какой вы использовали для доверительного интервала для y при данном значении ковариаты, интервал будет шире. Причина в том, что модель говорит вам, что будет добавлена ​​изменчивость, потому что новый y будет иметь свою собственную независимую ошибку, которая должна быть учтена в интервале. Этот компонент ошибки не входит в оценки, основанные на данных, использованных в подборке.