Задача оптимизации

Мой друг продает $k$ моделей блендеров. Некоторые из блендеров очень простые и дешевые, другие очень сложные и более дорогие. Его данные за каждый месяц состоят из цен каждого блендера (которые он устанавливает) и количества проданных единиц для каждой модели. Чтобы установить некоторые обозначения, он знает в течение месяцев векторы где - цена модели блендера за месяц , а - количество проданных единиц модели блендера за месяц . $j=1,\dots,n$

(p_{1 j}, \dots, p_{k j}) and (n_{1 j}, \dots, n_{k j}),

$(p_{1j},\dots,p_{kj}) \qquad \textrm{and} \qquad (n_{1j},\dots,n_{kj}) \, ,$

p_{i j}

$p_{ij}$

i

$i$

j

$j$

n_{i j}

$n_{ij}$

i

$i$

j

$j$

Учитывая данные, он хочет определить цены которые максимизируют стоимость его ожидаемых будущих продаж. $(p^*_1,\dots,p^*_k)$

У меня есть некоторые идеи о том, как начать моделировать эту проблему с помощью некоторой регрессии Пуассона, но я действительно не хочу изобретать велосипед. Также было бы неплохо доказать, что желаемый максимум существует при определенных условиях. Кто-нибудь, пожалуйста, дайте мне указатели на литературу такого рода проблемы?

optimization Zen
источник

Я действительно хотел бы услышать обоснование понижения по этому вопросу! Единственная возможность, которую я могу себе представить в настоящее время, заключается в том, что существует некоторая обеспокоенность в отношении статистической природы этого вопроса. Однако мне кажется очевидным, что существует статистическая составляющая, учитывая, что данные о продажах можно рассматривать как случайные числа из некоторого базового распределения. Я полагаю, что редактирование, в котором эта точка зрения прояснится, может помочь. Но мои комментарии здесь весьма умозрительны. (+1)

кардинал

Ткс, кардинал. Я отредактирую его в ближайшие несколько дней и добавлю информацию, которая прояснит аспекты вывода решения.

Дзен

Ответы:

Предположим, есть функция которая берет цены, , всех блендеров и возвращает количество продаж, $f(\cdot)$ $\vec{p}$ $k$ $\vec{n}$ . Тогда проблема заключается в следующем:

\underset{\vec{p}}{\arg max} {\vec{p}}^{T} f (\vec{p})

$\underset{\vec{p}}{\arg\max}\;\; \vec{p}^T f(\vec{p})$

Решение этой проблемы будет зависеть от предположений, которые вы хотите сделать. Сначала я бы выбрал самую простую модель, которая приходит мне в голову. Давайте предположим, что количество продаж блендера зависит только от его собственной цены, а не от цен других. То есть количество продаж каждого блендера не зависит. Это предположение позволяет разбить векторную функцию на скалярных функций. У нас есть $f(\cdot)$ $k$ $f_i:p \mapsto n,\;\;i=1,\dots,12$ , и проблема становится такой:

\underset{\vec{p}}{\arg max} \sum_{i = 1}^{k} p_{i} f_{i} (p_{i})

$\underset{\vec{p}}{\arg\max} \sum_{i=1}^k p_i f_i(p_i)$

Теперь мы должны принять модель для . Мы можем снова попробовать простую (линейную) форму: . Для каждого блендера вы можете оценить параметры ( ) этой функции, используя исторические данные о продажах. После того, как они будут оценены, оптимизация функции затрат, приведенная выше, должна быть простой и даст вам оптимальные цены, которые вы ищете. $f_i(\cdot)$ $f_i(p) = \alpha_i p + \beta_i$ $\alpha_i, \beta_i$

Как вы упомянули в своем посте, вы можете принять пуассоновскую модель для . $f(\cdot)$

То, что продажи блендеров независимы друг от друга, вероятно, является наивным предположением (потому что клиенты будут смотреть на многие блендеры, сравнивать их, а затем покупать один). Итак, я бы выбрал вектор с значением и начал с линейного моделирования. Оптимизация не должна быть слишком сложной. $f(\cdot)$

emrea
источник