Для заданной случайной величины (или совокупности, или стохастического процесса) математическое ожидание является ответом на вопрос: какой точечный прогноз минимизирует ожидаемую квадратичную потерю? , Кроме того, это оптимальное решение для игры. Угадайте следующую реализацию случайной величины (или новую ничью из популяции), и я накажу вас по квадрату расстояния между значением и вашим предположением, если у вас линейная неспособность в терминах наказания. Медиана - это ответ на соответствующий вопрос при абсолютной потере, а мода - ответ при потере "все или ничего".
Вопросы: Отвечает ли дисперсия и стандартное отклонение на подобные вопросы? Кто они такие?
Мотивация для этого вопроса связана с обучением основным мерам центральной тенденции и распространения. В то время как меры центральной тенденции могут быть мотивированы вышеизложенными теоретическими проблемами, мне интересно, как можно было бы мотивировать меры распространения.
источник
Ответы:
Если я понял вопрос , как задумано, вы имеете в виду условия , в которых вы можете получить независимые реализации любой случайной величины с любого распределения (имеющей конечную дисперсию ). «Игра» определяется функциями и которые будут описаны. Он состоит из следующих шагов и правил:Икс F σ2( F) час L
Ваш противник («Природа») раскрываетF,
В ответ вы производите число ваше «предсказание».т ( Ф),
Чтобы оценить результат игры, выполняются следующие расчеты:
Образецn IID наблюдений X=X1,X2,…,Xn взята из F.
Предопределенная функцияh применяется к выборке, производя число h(X), «статистику».
«Функция потерь»L сравнивает ваше «предсказание» t(F) со статистикой h(X), производя неотрицательное число L(t(F),h(X)).
Результатом игры является ожидаемая потеря (или «риск»)р( Л , ч )( т , F) = E( L ( т ( F) , h ( X ) ) ) .
Ваша цель - ответить на движение Природы, указав некоторыеT которые минимизируют риск.
Например, в игре с функциейч ( х1) = X1 и любая потеря вида L (t,h)=λ(t-h )2 для некоторого положительного числа λ , ваш оптимальный шаг, чтобы выбрать т ( Ф) , чтобы быть ожидание F,
Вопрос перед нами,
На это легко ответить, демонстрируя дисперсию как ожидание. Один способ состоит в том, чтобы оговорить, чточ ( х1, X2) = 12( Х1- Х2)2 и продолжаем использовать квадратичные потериL (t,h)=(t-h )2, После наблюдения этого
Этот пример позволяет нам сделать вывод, что этотчас и этот L отвечают на вопрос о дисперсии.
Как насчет стандартного отклоненияσ( F) ? Опять же, нам нужно только показать это как ожидание выборочной статистики. Однако это невозможно, потому что даже если мы ограничим F семейством распределений Бернулли ( р ) мы сможем получить только несмещенные оценки полиномиальных функций от р , но σ( F) = p ( 1 - p )-------√ не является полиномиальной функцией в областиp ∈ ( 0 , 1 ) . (См.Для биномиального распределения, почему не существует несмещенной оценки для?1 / р Для общего аргумента о биномиальных распределениях, к которому этот вопрос может быть сведен после усреднениячас по всем перестановкамИкся, )
источник