Я пытаюсь написать функцию, которая генерирует равномерно распределенный шум, который исходит от шара с p-нормой измерений:
Я нашел возможные решения для кругов ( ) ( http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html ), однако у меня возникли проблемы с расширением этого для различных значений .
Я попытался сделать это, просто рисуя случайную выборку из равномерного распределения и перерисовывая ее, когда она не соответствует заданному ограничению. Однако, помимо того, что это уродливое решение, оно также становится вычислительно неосуществимым для больших размеров.
simulation
noise
Тэке де Хаан
источник
источник
Ответы:
Я нашел полное решение в документе, предложенном kjetil b halvorsen ( https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=758215 ). Честно говоря, мне сложно понять математику, но возможный алгоритм довольно прост. если у нас есть измерений, радиус и норма чем:р рN р п
1) сгенерировать независимых случайных вещественных скаляров , где - обобщенное гауссово распределение (с другой степенью в показатель вместо просто )ε i = ˉ G ( 1 / p , p ) ˉ G ( μ , σ 2 ) e - | х | р р = 2N εя= G¯( 1 / р , р ) г¯( μ , σ2) е- | х |п р = 2
2) построить вектор из компонентов , где - независимые случайные знакиs i ∗ ε i s iИкс sя∗ εя sя
3) Генерация , где - случайная величина, равномерно распределенная в интервале [0, 1]. wZ= ш1 / n вес
4) вернутьY=rzx| |x||п
источник
Использование однородно распределенных многомерных переменных
Taeke предоставляет ссылку на статью, которую текст ниже делает более интуитивно понятным, объясняя конкретно 2-нормальные и 1-нормальные случаи.
направление образца
Вы можете использовать этот результат http://mathworld.wolfram.com/HyperspherePointPicking.html
Многомерная гауссовская распределенная переменная (с единичной ковариационной матрицей) зависит только от расстояния или суммы квадратов.X
Таким образом, равномерно распределен по поверхности n-мерной гиперсферы.X∥X∥2
расстояние образца
Для завершения вам нужно только сэмплировать расстояние, чтобы изменить однородное распределение на сфере на однородное распределение в шаре. (что более или менее похоже на ваш связанный пример для выбора точки диска)
Если бы вы просто выбрали как равномерное распределение, то у вас была бы относительно более высокая плотность вблизи центра (объем масштабируется как поэтому часть точек окажется в объеме , который является более плотным рядом с центром и не будет означать равномерное распределение)r г р нrn r rn
Если вместо этого вы используете корень переменной, выбранной из равномерного распределения, то вы получите четное распределение.n
1-норма∥x∥1≤r
направление
В этом случае вы выбираете из распределения Лапласа вместо распределения Гаусса и делите на 1-норму. равномерно распределена на п-мерный 1-норма сферы.X X|X|1
У меня нет формальных доказательств, просто интуиция
(поскольку pdf не зависит от позиции, можно ожидать, что любая бесконечно малая область / объем с одинаковой 1-нормой будет иметь одинаковую вероятность а когда вы свернете ее на единичную поверхность, то же самое )f ( x)е( х ) дВ е( х ) дA
но тестирование с симуляциями выглядит хорошо.
расстояние
Расстояние становится таким же, как в случае с 2-мя нормами (объем все еще масштабируется как ).рN
p-норма∥ х ∥п≤ r
В этом случае, если вы хотите следовать тому же принципу, вам нужно будет выбрать из распределений с помощью (я предполагаю). Это обобщенные нормальные распределения и, вероятно, они относятся к распределению упомянутому Тэке.е( х ) ∝ е| х |п G ( )
источник