Доказательство того, что производящие функции момента однозначно определяют вероятностные распределения

Wackerly др текстовой утверждает эту теорему «Пусть $m_x(t)$ и $m_y(t)$ обозначат момент-производящих функции случайных величин X и Y, соответственно. Если оба момента , генерирующие функции существуют и $m_x(t) = m_y(t)$ для всех значений t, тогда X и Y имеют одинаковое распределение вероятностей ". без доказательства того, что это выходит за рамки текста. Шеффер Янг также имеет ту же теоремубез доказательства. У меня нет копии Casella, но поиск книг в Google, похоже, не нашел в ней теоремы.

Текст Гута, кажется, содержит набросок доказательства , но не ссылается на «общеизвестные результаты», а также требует знания другого результата , доказательство которого также не представлено.

Кто-нибудь знает, кто первоначально доказал это, и есть ли доказательства где-нибудь в Интернете? Иначе как можно было бы заполнить детали этого доказательства?

На случай, если меня спросят «нет», это не домашнее задание, но я могу представить, что это может быть чья-то домашняя работа. Я взял последовательность курсов, основанную на тексте Вакерли, и меня некоторое время интересовало это доказательство. Поэтому я решил, что пришло время спросить.

Общее доказательство этого можно найти в работе Феллера («Введение в теорию вероятностей и ее приложения», том 2) . Это проблема обращения, включающая теорию преобразования Лапласа. Вы заметили, что mgf имеет поразительное сходство с преобразованием Лапласа? Для использования преобразования Лапласа вы можете увидеть Widder (Calcus Vol I) .

Доказательство особого случая:

Предположим, что X и Y являются случайными переменными, которые принимают только возможные значения в { }. Далее, предположим, что X и Y имеют одно и то же значение mgf для всех t: n $0, 1, 2,\dots, n$ Для простоты мы будем обозначатьs=ет и мы определимci=

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)=\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)$$ $s = e^t$ для i = 0 , 1 , … , n .$c_i = f_X(i) − f_Y (i)$$i = 0, 1,\dots,n$

Теперь ⇒ n ∑ x = 0 s x f X ( x ) - n ∑ y = 0 s y f Y ( y ) = 0 ⇒ n

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)-\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{y=0}^ns^yf_Y(y)=0$$ ⇒ n ∑ x = 0 sx[fX(x)-fY(x)]=0⇒ n ∑ x = 0 sxcx=0 $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{x=0}^ns^xf_Y(x)=0$$ $$\Rightarrow\sum_{x=0}^ns^x[f_X(x)-f_Y(x)]=0$$ Вышесказанное - это просто многочлен от s с коэффициентами c 0 , c 1 , … , c n . Единственный способ, которым он может быть нулевым для всех значений s, - это если c 0 = c 1 = ⋯ = c n = 0. Итак, мы имеем 0 = c i = f X ( i ) - f Y ( i ) для i = 0 , 1 , $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xc_x=0~∀s>0$$ $c_0, c_1,\dots,c_n$$c_0=c_1=\cdots= c_n=0$$0=c_i=f_X(i)−f_Y(i)$ .$i=0, 1,\dots,n$

$f_X(i)=f_Y(i)$$i=0,1,\dots,n$

$X$$Y$$X$$Y$

Теорема, которую вы обсуждаете, является основным результатом теории вероятности / меры. Скорее всего, доказательства будут найдены в книгах по теории вероятностей или статистике. Я нашел аналогичный результат для характеристических функций, приведенный в Hoel Port and Stone pp 205-208

Такер С. 51-53

и Чунг с. 151-155 Это третье издание. У меня есть второе издание, и я имею в виду номера страниц во втором издании, опубликованном в 1974 году.

Доказательство для mgf, которое я нашел, было труднее найти, но вы можете найти его в книге Биллингли «Вероятность и мера», с. 342-345. На странице 342 Теорема 30.1 содержит теорему, которая отвечает проблеме моментов. На странице 345 Биллингсли утверждает, что если у вероятностной меры есть функция, генерирующая моменты M (s), определенная на интервале, окружающем 0, то гипотеза для теоремы 30.1 удовлетворяется, и, следовательно, мера определяется ее моментами. Но эти моменты s определяются M (s). Следовательно, мера определяется своей производящей момент функцией, если M (s) существует в окрестности 0. Таким образом, эта логика вместе с доказательством, которое он дает для теоремы 30.1, доказывает результат. Биллингсли также прокомментировал, что решение для осуществления 26.

Обозначим момент, производящий функцию$X$ по $M_X(t)=Ee^{tX}$,

Теорема единственности. Если существует$\delta>0$ такой, что $M_X(t) = M_Y(t) < \infty$ для всех $t \in (-\delta,\delta)$, тогда $F_X(t) = F_Y(t)$ для всех $t \in \mathbb{R}$,

Чтобы доказать, что функция, генерирующая момент, определяет распределение, существует как минимум два подхода:

• Чтобы показать эту конечность $M_X$ на $(-\delta,\delta)$ подразумевает, что моменты $X$ не увеличивайте слишком быстро, чтобы $F_X$ определяется $(EX^k)_{k\in\mathbb{N}}$которые в свою очередь определяются $M_X$. This proof can be found in Section 30 of Billingsley, P. Probability and Measure.

• To show that $M_X$ is analytic and can be extended to $(-\delta,\delta)\times i\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$, so that $M_X(z)=Ee^{zX}$, so in particular $M_X(it)=\varphi_X(t)$ for all $t\in\mathbb{R}$, and then use the fact that $\varphi_X$ determines $F_X$. For this approach, see Curtiss, J. H. Ann. Math. Statistics 13:430-433 and references therein.

At undergraduate level, almost every textbook works with the moment generating function and states the above theorem without proving it. It makes sense, because the proof requires far more advanced mathematics than undergraduate level allows.

At the point when students have all the tools needed in the proof, they also have the maturity to work with the characteristic function $\varphi_X(t)=Ee^{itX}$ instead. Almost every graduate textbook takes this path, they prove that the characteristic function determines the distribution and basically ignore moment generating functions altogether.