Интуиция за формулой для дисперсии суммы двух переменных

Я знаю из предыдущих исследований, что

$Var(A+B) = Var(A) + Var(B) + 2 Cov (A,B)$

Однако я не понимаю, почему это так. Я вижу, что эффект будет «увеличивать» дисперсию, когда А и В сильно коваризуются. Имеет смысл, что, когда вы создаете композит из двух сильно коррелированных переменных, вы будете склонны добавлять высокие наблюдения из А с высокими наблюдениями из В, и низкие наблюдения из А с низкими наблюдениями из В. Это будет иметь тенденцию к создавать экстремальные высокие и низкие значения в составной переменной, увеличивая дисперсию составного.

Но почему работает умножение ковариации ровно на 2?

Простой ответ:

Дисперсия включает в себя квадрат:

Итак, ваш вопрос сводится к коэффициенту 2 в квадратной идентичности:

Что можно понимать визуально как разложение площади квадрата стороны на область меньших квадратов сторон a и b , в дополнение к двум прямоугольникам сторон a и b :$(a+b)$$a$$b$$a$$b$

Более сложный ответ:

Если вам нужен математически более сложный ответ, ковариация является билинейной формой, что означает, что она является линейной как в первом, так и во втором аргументах, это приводит к:

В последней строке я использовал тот факт, что ковариация симметрична:

Подводить итоги:

Это два, потому что вы должны учитывать как и c o v ( B , A ) .$cov(A,B)$$cov(B,A)$

Множество случайных величин является векторным пространством, и многие свойства евклидова пространства могут быть им аналогичны. Стандартное отклонение действует как длина, а дисперсия - как квадрат длины. Независимость соответствует ортогональности, а идеальная корреляция соответствует скалярному умножению. Таким образом, дисперсия независимых переменных следует теореме Пифагора:
.$var(A+B) = var(A)+var(B)$

Если они идеально коррелированы, то
$std(A+B) = std(A)+std(B)$

$var(A+B) = var(A)+var(B)+2\sqrt{var(A)var(B)}$

$var(A+B) = var(A)+var(B)+2cov(A,B)$

$A$$B$$cov(A,B)$$var(A,B)$ always has a $var(A)$ term and a $var(B)$ term, and then it has some variation on the $2\sqrt{var(A)var(B)}$ term; the more correlated the variables are, the larger this third term will be. And this is precisely what $2cov(A,B)$ is: it's $2\sqrt{var(A)var(B)}$ times the $r^2$ of $A$ and $B$.

$var(A+B) = var(A)+var(B)+MeasureOfCorrelation*PerfectCorrelationTerm$

where $MeasureOfCorrelation = r^2$ and $PerfectCorrelationTerm=2\sqrt{var(A)var(B)}$

Put in other terms, if $r = correl(A,B)$, then

$\sigma_{A+B} = \sigma_A^2+\sigma_B^2+ 2(r\sigma_A)(r\sigma_B)$

Thus, $r^2$ is analogous to the $cos$ in the Law of Cosines.

Я хотел бы добавить , что то , что вы цитируетесь не определение из$Var(A+B)$, а скорее следствием определений$Var$ а также $Cov$, Таким образом, ответ на вопрос, почему выполняется это уравнение, - это расчет, выполненный byessess . Ваш вопрос действительно может быть, почему это имеет смысл; неформально:

Как много $A+B$ будет «меняться», зависит от четырех факторов:

1. Как много $A$ будет меняться сам по себе.
2. Как много $B$ будет меняться сам по себе.
3. Как много $A$ будет меняться как $B$ перемещается (или меняется).
4. Как много $B$ будет меняться как $A$ двигается

Что приводит нас к