Как байесовская достаточность связана с достаточной частотой?

Простейшее определение достаточной статистики в частой перспективе дано здесь, в Википедии . Однако недавно я наткнулся на книгу Байеса с определением . В ссылке указано, что оба они эквивалентны, но я не понимаю, как это сделать. Также на той же странице в разделе «Другие типы достаточности» указано, что оба определения не эквивалентны в бесконечномерных пространствах ...$P(\theta|x,t)=P(\theta|t)$

Кроме того, как прогностическая достаточность относится к классической достаточности?

Если статистика достаточна в пути частотная, то р ( х | & thetas ; , т ) = р ( х | т ) , так что р ( & thetas ; | х , т $T$$p(\mathbf{x} \mid \theta, t) = p(\mathbf{x} \mid t)$

$$\begin{align*} p(\theta \mid \mathbf{x}, t) &= \frac{p(\mathbf{x}\mid t,\theta)p(t \mid \theta) p(\theta)}{p(\mathbf{x}\mid t)p(t)} \\ &= \frac{p(t \mid \theta) p(\theta)}{p(t)} \tag{freq. suff.}\\ &= p(\theta \mid t). \end{align*}$$

$T$

$$\begin{align*} p(\mathbf{x} \mid \theta, t) &= \frac{p(\mathbf{x}, \theta,t)}{p(\theta,t)}\\ &= \frac{p(\theta \mid \mathbf{x},t) p(\mathbf{x},t)}{p(\theta\mid t)p(t)}\\ &= \frac{p(\mathbf{x},t)}{p(t)} \tag{Bayesian suff.}\\ &= p(\mathbf{x} \mid t). \end{align*}$$

Что касается «предсказательной достаточности», что это?

$$\begin{align*} p(\mathbf{x}' \mid \mathbf{x}) &= \int p(\mathbf{x}' \mid \theta)p(\theta \mid \mathbf{x}) d\theta\\ &= \int p(\mathbf{x}' \mid \theta) p(\theta \mid t)d\theta \tag{Bayesian suff.}\\ &= p(\mathbf{x}' \mid t). \end{align*}$$

Мы столкнулись с интересным явлением несколько лет назад , когда исследовали выбор байесовской модели с помощью ABC. Что, я думаю, связано с этим вопросом. Действительно, существует понятие достаточности для выбора байесовской модели, которое не кажется особенно значимым вне байесовского подхода.

$$\mathfrak{M}_1=\{f_\theta(\cdot); \theta\in\Theta\}$$ $$\mathfrak{M}_2=\{g_\xi(\cdot); \xi\in\Xi\}$$ $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$$S$$\mathbf{X}$$S(\mathbf{X})$

$\mathbf{X}$$S(\mathbf{X})$