Среднее время выживания для лог-нормальной функции выживания

Я нашел множество формул, показывающих, как найти среднее время выживания для экспоненциального распределения или распределения Вейбулла, но мне значительно меньше везет для лог-нормальных функций выживания.

Учитывая следующую функцию выживания:

Как найти среднее время выживания? Насколько я понимаю, - это оценочный масштабный параметр, а exp ( β ) из параметрической модели выживания равен µ . Хотя я думаю, что могу манипулировать им символически, чтобы получить t все самостоятельно после установки S (t) = 0,5, меня особенно озадачивает то, как обрабатывать ϕ в чем-то вроде R, когда на самом деле все сводится к вводу всех оценок и получению среднего время.$\sigma$$\beta$$\mu$$\phi$

До сих пор я генерировал функцию выживания (и связанные кривые), вот так:

beta0 <- 2.00
beta1 <- 0.80
scale <- 1.10

exposure <- c(0, 1)
t <- seq(0, 180)
linmod <- beta0 + (beta1 * exposure)
names(linmod) <- c("unexposed", "exposed")

## Generate s(t) from lognormal AFT model

s0.lnorm <- 1 - pnorm((log(t) - linmod["unexposed"]) / scale)
s1.lnorm <- 1 - pnorm((log(t) - linmod["exposed"]) / scale)

## Plot survival
plot(t,s0.lnorm,type="l",lwd=2,ylim=c(0,1),xlab="Time",ylab="Proportion Surviving")
lines(t,s1.lnorm,col="blue",lwd=2)

Что приводит к следующему:

$t_{\textrm{med}}$$S(t) = \frac{1}{2}$$t_{\textrm{med}} = \exp(\mu)$$\Phi(0) = \frac{1}{2}$$\Phi$

$\mu = 3$$20.1$

Пакет R rmsможет помочь:

require(rms)
f <- psm(Surv(dtime, event) ~ ..., dist='lognormal')
m <- Mean(f)
m   # see analytic form
m(c(.1,.2)) # evaluate mean at linear predictor values .1, .2
m(predict(f, expand.grid(age=10:20, sex=c('male','female'))))
# evaluates mean survival time at combinations of covariate values

$e^{\mu+{\sigma^2\over 2}}$$\sigma=1.1$