Как минимизировать остаточную сумму квадратов экспоненциальной подгонки?

У меня есть следующие данные, и я хотел бы приспособить к ним модель отрицательного экспоненциального роста:

Days <- c( 1,5,12,16,22,27,36,43)
Emissions <- c( 936.76, 1458.68, 1787.23, 1840.04, 1928.97, 1963.63, 1965.37, 1985.71)
plot(Days, Emissions)
fit <- nls(Emissions ~ a* (1-exp(-b*Days)), start = list(a = 2000, b = 0.55))
curve((y = 1882 * (1 - exp(-0.5108*x))), from = 0, to =45, add = T, col = "green", lwd = 4)

Код работает и строится подходящая линия. Тем не менее, подгонка визуально не идеальна, а остаточная сумма квадратов кажется довольно большой (147073).

Как мы можем улучшить нашу форму? Данные позволяют лучше соответствовать вообще?

Мы не смогли найти решение этой проблемы в сети. Любая прямая помощь или связь с другими сайтами / сообщениями с благодарностью.

(Отрицательный) экспоненциальный закон принимает вид . Когда вы допускаете изменения единиц в значениях x и y , хотя, скажем, y = α y ′ + β и x = γ x ′ + δ , тогда закон будет выражаться как$y=-\exp(-x)$$x$$y$$y = \alpha y' + \beta$$x = \gamma x' + \delta$

который алгебраически эквивалентен

используя три параметра , u = 1 / ( β exp ( δ ) ) и b = γ . Мы можем распознать a как параметр масштаба для y , b как параметр масштаба для x , и u как производный от параметра местоположения для x .$a = -\beta/\alpha$$u = 1/(\beta\exp(\delta))$$b = \gamma$$a$$y$$b$$x$$u$$x$

Как правило, эти параметры можно определить с первого взгляда на график :

• Параметр - это значение горизонтальной асимптоты, чуть меньше 2000 .$a$$2000$

• Параметр - это относительная величина, на которую кривая поднимается от начала координат до ее горизонтальной асимптоты. Здесь, следовательно, рост немного меньше, чем 2000 - 937 ; относительно, это около 0,55 асимптоты.$u$$2000 - 937$$0.55$

• Поскольку , когда x в три раза превышает значение 1 / b, кривая должна была подняться примерно до 1 - 0,05 или 95 % от общей суммы. 95 % роста с 937 года до почти 2000 года ставит нас около 1950 года ; сканирование по всему графику показывает, что это заняло от 20 до 25 дней. Давайте назовем это 24 для простоты, откуда б ≈ +3 /$\exp(-3) \approx 0.05$$x$$1/b$$1-0.05$$95\%$$95\%$$937$$2000$$1950$$20$$25$$24$ . (Этотметод 95 % для экспоненциальной шкалы является стандартным в некоторых областях, которые часто используют экспоненциальные графики.)$b \approx 3/24 = 0.125$$95\%$

Давайте посмотрим, как это выглядит:

plot(Days, Emissions)
curve((y = 2000 * (1 - 0.56 * exp(-0.125*x))), add = T)

Не плохо для начала! (Даже несмотря на то, что вы печатаете 0.56вместо 0.55, это было грубое приближение в любом случае.) Мы можем отшлифовать его с помощью nls:

fit <- nls(Emissions ~ a * (1- u * exp(-b*Days)), start=list(a=2000, b=1/8, u=0.55))
beta <- coefficients(fit)
plot(Days, Emissions)
curve((y = beta["a"] * (1 - beta["u"] * exp(-beta["b"]*x))), add = T, col="Green", lwd=2)

Вывод nlsсодержит обширную информацию о параметре неопределенности. Например , простое summaryпредоставляет стандартные ошибки оценок:

> summary(fit)

Parameters:
   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
a 1.969e+03  1.317e+01  149.51 2.54e-10 ***
b 1.603e-01  1.022e-02   15.69 1.91e-05 ***
u 6.091e-01  1.613e-02   37.75 2.46e-07 ***

Мы можем читать и работать со всей ковариационной матрицей оценок, что полезно для оценки одновременных доверительных интервалов (по крайней мере, для больших наборов данных):

> vcov(fit)
             a             b             u
a 173.38613624 -8.720531e-02 -2.602935e-02
b  -0.08720531  1.044004e-04  9.442374e-05
u  -0.02602935  9.442374e-05  2.603217e-04

nls поддерживает графики профиля для параметров, предоставляя более подробную информацию об их неопределенности:

> plot(profile(fit))

$a$

$2$$1945$$1995$