Почему мы не используем взвешенное арифметическое среднее вместо гармонического среднего?

Интересно, какова внутренняя ценность использования среднего гармонического (например, для вычисления F-мер), в отличие от взвешенного арифметического среднего в сочетании точности и отзыва? Я думаю, что взвешенное среднее арифметическое может играть роль гармонического среднего, или я что-то упустил?

machine-learning monte-carlo precision-recall harmonic-mean ольга
источник

Среднее гармоническое представляет собой взвешенное арифметическое среднее: каждый

имеет вес, пропорциональный

x_{i}

$x_i$

1 / x_{i}^{2}

$1/x_i^2$

whuber

Можете ли вы сказать больше о том, как точность и отзыв сочетаются таким образом?

AdamO

@whuber Не уверен, если ваш комментарий серьезный или насмешливый. Обычно предполагается, что веса являются функцией индекса выборки , а не значения выборки . В противном случае любое среднее значение является взвешенным арифметическим средним

Луис Мендо,

@Luis Истина лежит между ними. Выборочный индекс часто не имеет смысла. Веса являются функциями объектов, но эти функции обычно не зависят от усредняемых значений. Примерами являются веса, связанные с временем (EWMA), с местоположением (как в показателях пространственной корреляции), рангом (как в тесте Шапиро-Уилка) и вероятностями выборки. Но не все средства являются взвешенными AM: например, не GM. Поскольку Филиппа спрашивает об «внутренней стоимости», казалось уместным указать математическую связь между гармоническим средним и взвешенным средним.

whuber

Ответы:

В целом, гармонические средние предпочтительны, когда кто-то пытается усреднить показатели, а не целые числа. В случае меры F1, гармоническое среднее будет штрафовать очень малую точность или отзыв, тогда как невзвешенное арифметическое среднее не будет. Представьте себе в среднем 100% и 0%: среднее арифметическое составляет 50%, а среднее гармоническое - 0%. Среднее гармоническое требует, чтобы и точность, и отзыв были высокими.

Кроме того, когда точность и отзыв близки, среднее гармоническое будет близко к среднему арифметическому. Пример: среднее гармоническое 95% и 90% составляет 92,4% по сравнению со средним арифметическим 92,5%.

Является ли это желаемым свойством, вероятно, зависит от вашего варианта использования, но обычно оно считается хорошим.

Наконец, обратите внимание, что, как @whuber заявил в комментариях, среднее гармоническое действительно является средневзвешенным арифметическим.

ilanman
источник

10

$10$

120

$120$

10

$10$

60

$60$

80

$80$

10

$10$

120

$120$

10

$10$

60

$60$

90

$90$

Действительно, первый абзац является скорее общим утверждением о среднем по гармонике. Но вы правы, точность и отзыв - это доли, а не показатели. Я полагаю, что существует мнение, что среднее арифметическое значение предпочтительнее для значений, которые имеют интерпретируемое суммирование (что в данном случае неприменимо), но, безусловно, можно взять среднее арифметическое точности, а также вызвать и вывести полезный результат.

ilanman

Отлично! Я больше ищу "оправдания" для использования правила усреднения гармоник. Но я не уверен, как думать об оправданиях ..

Ольга

$\mathbb{E}[X]$ $\mathbb{E}[1/X]$

f (x) = \frac{α x_{0}^{α}}{x^{α + 1}} I_{x \geq x_{0}}

$f(x)=\dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{x^{\alpha+1}}\mathbb{I}_{x\ge x_0}$

α \leq 1

$\alpha\le 1$

E [1 / X] = \int_{x_{0}}^{\infty} \frac{α x_{0}^{α}}{x^{α + 2}} d x = \frac{α x_{0}^{α}}{(α + 1) x_{0}^{α + 1}} = \frac{α}{(α + 1) x_{0}}

$\mathbb{E}[1/X]=\int_{x_0}^\infty \dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{x^{\alpha+2}}\,\text{d}x=\dfrac{\alpha x_0^{\alpha}}{(\alpha+1) x_0^{\alpha+1}}=\dfrac{\alpha}{(\alpha+1) x_0}$

$\mathcal{B}e(\alpha,\beta)$ $\alpha\le1$

E [\frac{φ (θ)}{π (θ) L (θ | x)} | x] = \frac{1}{m (x)}

$\mathbb{E}\left[\dfrac{\varphi(\theta)}{\pi(\theta)L(\theta|x)}\Big| x\right]=\dfrac{1}{m(x)}$

φ (\cdot)

$\varphi(\cdot)$

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$

L (\cdot | x)

$L(\cdot|x)$

m (\cdot)

$m(\cdot)$

Сиань
источник

Почему эти свойства предпочтительнее при усреднении показателей?

Кошка Морж

Я не знаю результатов оптимальности, но иметь оценку с конечным ожиданием кажется предпочтительнее оценки без!

Сиань