Как я могу использовать значение для проверки предположения о линейности в множественном регрессионном анализе?

Приведенные ниже графики являются графиками остаточного разброса регрессионного теста, для которого предположения о «нормальности», «гомоскедастичности» и «независимости» уже были точно соблюдены! Для проверки предположения о «линейности» , хотя, глядя на графики, можно догадаться, что отношение является криволинейным, но вопрос заключается в следующем: как можно использовать значение «R2 Linear» для проверки предположения о линейности? Каков допустимый диапазон для значения «R2 Linear», чтобы решить, является ли отношение линейным? Что делать, если предположение о линейности не выполняется и преобразование IV также не помогает? !!

Вот ссылка на полные результаты теста.

Точечные графики:

Следует отметить , что предположение о линейности вы имеете в виду только говорит , что условное среднее дал X я линейная функция$Y_i$$X_i$ . Вы не можете использовать значение для проверки этого предположения.$R^2$

Это связано с тем, что является просто квадратом корреляции между наблюдаемыми и прогнозируемыми значениями, а значение коэффициента корреляции не однозначно определяет взаимосвязь между X и Y (линейным или иным образом), и возможны оба следующих двух сценария: $R^2$$X$$Y$

• Высокий но предположение о линейности все еще неверно в важном смысле$R^2$

• Низкий но предположение о линейности все еще выполняется$R^2$

Я буду обсуждать каждый по очереди:

(1) Высокий но предположение о линейности по-прежнему неверно в важном смысле:$R^2$ хитрость здесь заключается в манипулировании фактом, что корреляция очень чувствительна к выбросам . Предположим , у вас есть предикторов , которые генерируются из распределения смеси, которое является стандартным нормальным в 99 % случаев, и точечной массы при M, других 1 %, и переменной отклика, которая равна$X_1, ..., X_n$$99\%$$M$$1\%$

где и M - положительная постоянная, намного превышающая μ , например, μ = 0 , M = 10 5 . Тогда X i и Y i будут почти идеально соотнесены:$Z_i \sim N(\mu,1)$$M$$\mu$$\mu=0, M=10^5$$X_i$$Y_i$

u = runif(1e4)>.99
x = rnorm(1e4)
x[which(u==1)] = 1e5
y = rnorm(1e4)
y[which(x==1e5)] = 1e5
cor(x,y)
[1] 1

$Y_i$$X_i$$Y_i$$X_i$$X_i = M$

$R^2$$X_i$$Y_i$

$Y_i$$X_i$$X_i$${\rm var}(\varepsilon_i) = \sigma^2$$\beta_1$$R^2$

x = rnorm(200)
y = 1 + 2*x + rnorm(200,sd=5)
cor(x,y)^2
[1] 0.1125698

$R^2$

Re: Что делать, если предположение о линейности не выполнено и преобразование IV также не помогает? !!

Когда нелинейность является проблемой, может быть полезно взглянуть на графики остатков в сравнении с каждым предиктором - если есть какой-либо заметный паттерн, это может указывать на нелинейность в этом предикторе. Например, если этот график показывает «чашеобразную» связь между остатками и предиктором, это может указывать на отсутствующий квадратичный термин в этом предикторе. Другие шаблоны могут указывать на другую функциональную форму. В некоторых случаях может оказаться, что вы не пытались исправить преобразование или что истинная модель не является линейной в любой преобразованной версии переменных (хотя может быть возможно найти разумное приближение).

$R^2$

$R^2=1$$1$$R^2$$R^2$$^2$$1<x<2$$R^2$$R^2$