Использование glm () вместо простого теста хи-квадрат

Я заинтересован в изменении нулевых гипотез, используя glm()в R.

Например:

x = rbinom(100, 1, .7)  
summary(glm(x ~ 1, family = "binomial"))

проверяет гипотезу, что . Что если я захочу изменить значение null на = какое-то произвольное значение внутри ? $p = 0.5$$p$glm()

Я знаю, что это можно сделать также с помощью prop.test()и chisq.test(), но я хотел бы изучить идею использования glm()для проверки всех гипотез, относящихся к категориальным данным.

Вы можете использовать смещение : glmс family="binomial"оценочными параметрами по лог-коэффициентам или по шкале логитов, так что соответствует лог-коэффициентам 0 или вероятности 0,5. Если вы хотите сравнить с вероятностью p , вы хотите, чтобы базовое значение было равно q = logit ( p ) = log ( p / ( 1 - p ) ) . Статистическая модель сейчас$\beta_0=0$$p$$q = \textrm{logit}(p)=\log(p/(1-p))$

где только последняя строка изменилась из стандартной настройки. В коде R:

• использовать offset(q)в формуле
• функция logit / log-odds qlogis(p)
• Немного досадно, но вы должны указать значение смещения для каждого элемента в переменной ответа - R не будет автоматически копировать для вас постоянное значение. Это делается ниже путем настройки фрейма данных, но вы можете просто использовать rep(q,100).

x = rbinom(100, 1, .7)
dd <- data.frame(x, q = qlogis(0.7)) 
summary(glm(x ~ 1 + offset(q), data=dd, family = "binomial"))

Посмотрите на доверительный интервал для параметров вашего GLM:

> set.seed(1)
> x = rbinom(100, 1, .7)
> model<-glm(x ~ 1, family = "binomial")
> confint(model)
Waiting for profiling to be done...
    2.5 %    97.5 % 
0.3426412 1.1862042 

Это доверительный интервал для лог-шансов.

Для имеем log ( o d d s ) = log $p=0.5$$\log(odds) = \log \frac{p}{1-p} = \log 1 = 0$$p=0.5$

$p$

Не является (полностью) правильным / точным использование p-значений на основе z- / t-значений в функции glm.summary в качестве проверки гипотезы.

1. Это запутанный язык. Сообщаемые значения называются z-значениями. Но в этом случае они используют оценочную стандартную ошибку вместо истинного отклонения. Поэтому в действительности они ближе к т-значениям . Сравните следующие три выхода:
   1) summary.glm
   2) t-тест
   3) z-тест

   > set.seed(1)
   > x = rbinom(100, 1, .7)
   
   > coef1 <- summary(glm(x ~ 1, offset=rep(qlogis(0.7),length(x)), family = "binomial"))$coefficients
   > coef2 <- summary(glm(x ~ 1, family = "binomial"))$coefficients
   
   > coef1[4]  # output from summary.glm
   [1] 0.6626359
   > 2*pt(-abs((qlogis(0.7)-coef2[1])/coef2[2]),99,ncp=0) # manual t-test
   [1] 0.6635858
   > 2*pnorm(-abs((qlogis(0.7)-coef2[1])/coef2[2]),0,1) # manual z-test
   [1] 0.6626359

2. Они не являются точными значениями р. Точное вычисление p-значения с использованием биномиального распределения будет работать лучше (с вычислительной мощностью в настоящее время это не проблема). T-распределение, предполагающее гауссово распределение ошибки, не является точным (оно завышает p, превышение уровня альфа встречается реже в «реальности»). Смотрите следующее сравнение:

   # trying all 100 possible outcomes if the true value is p=0.7
   px <- dbinom(0:100,100,0.7)
   p_model = rep(0,101)
   for (i in 0:100) {
     xi = c(rep(1,i),rep(0,100-i))
     model = glm(xi ~ 1, offset=rep(qlogis(0.7),100), family="binomial")
     p_model[i+1] = 1-summary(model)$coefficients[4]
   }
   
   
   # plotting cumulative distribution of outcomes
   outcomes <- p_model[order(p_model)]
   cdf <- cumsum(px[order(p_model)])
   plot(1-outcomes,1-cdf, 
        ylab="cumulative probability", 
        xlab= "calculated glm p-value",
        xlim=c(10^-4,1),ylim=c(10^-4,1),col=2,cex=0.5,log="xy")
   lines(c(0.00001,1),c(0.00001,1))
   for (i in 1:100) {
     lines(1-c(outcomes[i],outcomes[i+1]),1-c(cdf[i+1],cdf[i+1]),col=2)
   #  lines(1-c(outcomes[i],outcomes[i]),1-c(cdf[i],cdf[i+1]),col=2)
   }
   
   title("probability for rejection as function of set alpha level")

   

   Черная кривая представляет равенство. Красная кривая ниже этого. Это означает, что для данного вычисленного значения p с помощью функции суммирования glm мы находим эту ситуацию (или большую разницу) реже, чем указывает значение p.