Является ли среднее значение положительно определенных матриц также положительно определенным?

Является ли среднее значение нескольких положительно определенных матриц обязательно положительно определенным или положительным полуопределенным? Среднее является поэлементным.

Да, это так. jth asnwer является правильным (+1), но я думаю, что вы можете получить гораздо более простое объяснение только с помощью базовой линейной алгебры.

Предположим, что и являются положительно определенными матрицами для размера . По определению это означает, что для всех , и . Это означает, что или, что эквивалентно, . то есть. должен быть положительно определенным.$A$$B$$n$$u \in R^n$$0 < u^TAu$$0 < u^TBu$$0 < u^TAu + u^TBu$$0 < u^T(A+B)u$$(A+B)$

Конечно. Множество положительно определенных матриц образует конус , то есть он замкнут при положительных линейных комбинациях и масштабировании.