Почему функция стоимости нейронных сетей невыпуклая?

Здесь есть похожая тема ( функция стоимости нейронной сети невыпуклая? ), Но я не смог понять суть вопросов в ответах и ​​мою причину повторного запроса, надеясь, что это прояснит некоторые проблемы:

Если я использую функцию суммы квадратов разницы стоимости, я в конечном итоге оптимизирую что-то в форме где - фактическое значение метки во время обучения phase и - это прогнозируемое значение метки. Поскольку это имеет квадратную форму, это должна быть выпуклая функция стоимости. Так что же может сделать его невыпуклым в NN? у $\Sigma_{i=1}^{N}(y_i - \hat{y_i})^2$$y$$\hat{y}$

действительно выпуклый в у я . Но если у я = п ( х я , θ ) не может быть выпуклым в θ , что ситуация с большинством нелинейных моделей, и мысамом деле заботятся о выпуклости в & thetas , потому что это точто мы оптимизации функции затрат над.$\sum_i (y_i- \hat y_i)^2$$\hat y_i$$\hat y_i = f(x_i ; \theta)$$\theta$$\theta$

Например, давайте рассмотрим сеть с 1 скрытым слоем блоков и линейным выходным слоем: наша функция затрат г ( α , W ) = Σ я ( у я - α я σ ( Ш х я ) ) 2 , где х я ∈ R p и W ∈ R N × p (и я опускаю смещающие члены для простоты). Это не обязательно выпукло, если рассматривать как функцию от ( α , W $N$

$$g(\alpha, W) = \sum_i \left(y_i - \alpha_i\sigma(Wx_i)\right)^2$$ $x_i \in \mathbb R^p$$W \in \mathbb R^{N \times p}$$(\alpha, W)$(в зависимости от : если используется линейная функция активации, то она все еще может быть выпуклой). И чем глубже наша сеть, тем менее выпуклые вещи.$\sigma$

$h : \mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R$$h(u, v) = g(\alpha, W(u, v))$$W(u,v)$$W$$W_{11}$$u$$W_{12}$$v$

$n=50$$p=3$$N=1$$x$$y$$\mathcal N(0,1)$

Вот код R, который я использовал для создания этого рисунка (хотя некоторые параметры сейчас имеют немного отличающиеся значения, чем когда я его сделал, поэтому они не будут идентичны):

costfunc <- function(u, v, W, a, x, y, afunc) {
  W[1,1] <- u; W[1,2] <- v
  preds <- t(a) %*% afunc(W %*% t(x))
  sum((y - preds)^2)
}

set.seed(1)
n <- 75  # number of observations
p <- 3   # number of predictors
N <- 1   # number of hidden units


x <- matrix(rnorm(n * p), n, p)
y <- rnorm(n)  # all noise
a <- matrix(rnorm(N), N)
W <- matrix(rnorm(N * p), N, p)

afunc <- function(z) 1 / (1 + exp(-z))  # sigmoid

l = 400  # dim of matrix of cost evaluations
wvals <- seq(-50, 50, length = l)  # where we evaluate costfunc
fmtx <- matrix(0, l, l)
for(i in 1:l) {
  for(j in 1:l) {
    fmtx[i,j] = costfunc(wvals[i], wvals[j], W, a, x, y, afunc)
  }
}

filled.contour(wvals, wvals, fmtx,plot.axes = { contour(wvals, wvals, fmtx, nlevels = 25, 
                                           drawlabels = F, axes = FALSE, 
                                           frame.plot = FALSE, add = TRUE); axis(1); axis(2) },
               main = 'NN loss surface', xlab = expression(paste('W'[11])), ylab = expression(paste('W'[12])))