Почему мы берем квадратный корень дисперсии, чтобы создать стандартное отклонение?

Извините, если на это ответили в другом месте, я не смог найти его.

Мне интересно, почему мы берем квадратный корень , в частности, дисперсию, чтобы создать стандартное отклонение? Что такое взятие квадратного корня, которое дает полезную ценность?

В каком-то смысле это тривиальный вопрос, но в другом он на самом деле довольно глубокий!

• Как уже упоминалось, извлекая квадратный корень означает имеет те же единицы .$\operatorname{Stdev}(X)$$X$

• Получение квадратного корня дает вам абсолютную однородность или абсолютную масштабируемость . Для любой скалярной и случайной величины мы имеем: \ operatorname {Stdev} [\ alpha X] = | \ alpha | \ OperatorName {Stdev} [X] Абсолютная однородность является обязательным свойством из нормы . Стандартное отклонение можно интерпретировать как норму (в векторном пространстве среднего нуля случайных величин) так же, как \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} является стандартной евклидовой нормой в трехмерном Космос. Стандартное отклонение - это мера расстояния между случайной величиной и ее средним значением.$\alpha$$X$

  $$\operatorname{Stdev}[\alpha X] = |\alpha| \operatorname{Stdev}[X]$$ $\sqrt{x^2 + y^2+z^2}$

Стандартное отклонение и норма $L_2$

Конечный размерный случай:

В мерном векторном пространстве стандартная евклидова норма, известная также как норма определяется как:$n$$L_2$

В более широком смысле норма берет корень й для получения абсолютного однородность: .$p$ $\|\mathbf{x}\|_p = \left(\sum_i |x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}$$p$$\|\alpha \mathbf{x}\|_p = \left( \sum_i |\alpha x_i|^p \right)^\frac{1}{p} = | \alpha | \left( \sum_i |x_i|^p \right)^\frac{1}{p} = |\alpha | \|\mathbf{x}\|_p$

Если у вас есть веса то взвешенная сумма также является допустимой нормой. Кроме того, это стандартное отклонение, если представляют вероятности и$q_i$$\sqrt{\sum_i x_i^2 q_i}$$q_i$$\operatorname{E}[\mathbf{x}] \equiv \sum_i x_i q_i = 0$

Случай бесконечного измерения:

В бесконечномерном гильбертовом пространстве мы также можем определить норму :$L_2$

Если - случайная величина со средним нулем, а - мера вероятности, каково стандартное отклонение? Это то же самое: .$X$$P$$\sqrt{\int_\omega X(\omega)^2 dP(\omega) }$

Резюме:

Взятие квадратного корня означает, что стандартное отклонение удовлетворяет абсолютной однородности , что является обязательным свойством нормы .

На пространстве случайных величин, представляет собой скалярное произведение и норма, вызванная этим внутренним продуктом . Таким образом, стандартное отклонение является нормой унифицированной случайной величины: Это мера расстояния от среднего значения в .$\langle X, Y \rangle = \operatorname{E}[XY]$$\|X\|_2 = \sqrt{\operatorname{E}[X^2]}$

(Технический момент: хотя является нормой, стандартное отклонение не является нормой для случайных величин в целом, потому что требование к нормированному векторному пространству равно тогда и только тогда, когда . Стандартное отклонение 0 не делает ' t подразумевает, что случайная величина является нулевым элементом.)$\sqrt{\operatorname{E}[X^2]}$$\sqrt{\operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]}$$\|x\| = \mathbf{0}$$x = \mathbf{0}$

Дисперсия определяется как , поэтому это ожидание квадрата разницы между X и его ожидаемым значением.$X$$V(X) = E(X-E(X))^2$

Если - время в секундах, - в секундах, но - в а - снова в секундах.$X$$X-E(X)$$V(X)$$\mbox{seconds}^2$$\sqrt{V(X)}$

Простой ответ заключается в том, что единицы измерения находятся в том же масштабе, что и среднее значение. Пример: я оцениваю среднее значение для ученика средней школы, равное 160 см со стандартным отклонением (SD) 20 см. Это интуитивно легче получить чувство изменения с СД , чем дисперсия 400см ^ 2.

В более простых терминах стандартное отклонение предназначено для того, чтобы дать нам положительное число, которое говорит о распространении наших данных о его значении.

Если бы мы просто суммировали расстояния всех точек от среднего значения, то точки в положительном и отрицательном направлениях объединялись бы так, чтобы иметь тенденцию тяготеть назад к среднему значению, и мы потеряли бы информацию о разбросе. Вот почему мы сначала измеряем дисперсию, так что все расстояния сохраняются в виде положительных величин посредством возведения в квадрат, и они не компенсируют друг друга. В конце мы хотим получить положительное значение, которое представляет единицы, с которых мы начали - это уже было прокомментировано выше - поэтому мы берем положительный квадратный корень.

Это историческая глупость, которую мы продолжаем из-за интеллектуальной лени. Они решили вычесть разницу из среднего значения, чтобы избавиться от знака минус. Затем они взяли квадратный корень, чтобы привести его к шкале, подобной средней.

Кто-то должен генерировать новую статистику, вычисляя дисперсию и SD, используя модуль или абсолютные значения отклонения от среднего. Это избавило бы от всего этого возведения в квадрат и затем взяло бы бизнес квадратного корня.