Как выполнить изометрическое логарифмическое преобразование

У меня есть данные о поведении при движении (время, проведенное во сне, сидячий образ жизни и выполнение физических упражнений), которое составляет приблизительно 24 (как в часах в день). Я хочу создать переменную, которая фиксирует относительное время, затрачиваемое на каждое из этих поведений, - мне сказали, что изометрическое преобразование логарифмического соотношения позволит это сделать.

Похоже, я должен использовать функцию ilr в R, но не могу найти реальных примеров с кодом. С чего мне начать?

Переменные, которые у меня есть, - это время, проведенное во сне, среднее сидячее время, средняя средняя легкая физическая активность, средняя умеренная физическая активность и средняя интенсивная физическая активность. Сон был сообщен самим собой, в то время как остальные представляют собой средние данные по действительным дням данных акселерометра. Таким образом, для этих переменных случаи не суммируются ровно в 24.

Мое предположение: я работаю в SAS, но похоже, что R будет намного проще использовать для этой части. Поэтому сначала импортируйте данные только с интересующими переменными. Затем используйте функцию acomp (). Тогда я не могу понять синтаксис для функции ilr (). Любая помощь приветствуется.

Преобразование ILR (Isometric Log-Ratio) используется при анализе композиционных данных. Любое данное наблюдение представляет собой набор положительных значений, суммирующих единицу, таких как пропорции химических веществ в смеси или пропорции общего времени, потраченного на различные виды деятельности. Инвариант суммы к единице подразумевает, что, хотя в каждом наблюдении может быть $k\ge 2$ компонентов, существует только $k-1$ функционально независимых значений. (Геометрически наблюдения лежат на $k-1$ мерном симплексе в $k$ мерном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^k$, Эта симплициальная природа проявляется в треугольных формах диаграмм рассеяния смоделированных данных, показанных ниже.)

Как правило, распределение компонентов становится «приятнее» при преобразовании журнала. Это преобразование может быть масштабировано путем деления всех значений в наблюдении на их среднее геометрическое значение, прежде чем брать записи. (Эквивалентно, журналы данных в любом наблюдении центрируются путем вычитания их среднего значения.) Это известно как преобразование «Центрированное логарифмическое отношение», или CLR. Результирующие значения все еще лежат в гиперплоскости в $\mathbb{R}^k$ , потому что масштабирование приводит к тому, что сумма лог-файлов равна нулю. ILR состоит из выбора любого ортонормированного базиса для этой гиперплоскости:$k-1$координаты k - 1 каждого преобразованного наблюдения становятся его новыми данными. Эквивалентно, гиперплоскость поворачивается (или отражается), чтобы совпадать с плоскостью с исчезающим$k^\text{th}$ координата использует первые$k-1$ координаты. (Поскольку вращения и отражения сохраняют расстояние, они являютсяизометриями, отсюда и название этой процедуры.)

Цагрис, Престон и Вуд утверждают, что «стандартный выбор [матрицы вращения] $H$ - это подматрица Гельмерта, полученная путем удаления первой строки из матрицы Гельмерта».

Матрица Гельмерта порядка $k$ строится простым образом (см., Например, Harville p. 86). Его первый ряд - все $1$ с. Следующая строка является одной из самых простых, которые можно сделать ортогональными к первой строке, а именно $(1, -1, 0, \ldots, 0)$ . Строка $j$ является одной из самых простых, которая ортогональна всем предыдущим строкам: ее первые $j-1$ записи равны $1$ с, что гарантирует ее ортогональность строкам $2, 3, \ldots, j-1$и его $j^\text{th}$ запись установлена ​​в $1-j$ чтобы сделать ее ортогональной первой строке (то есть ее записи должны суммироваться до нуля). Все строки затем изменяются на единицу длины.

Здесь, чтобы проиллюстрировать шаблон, это $4\times 4$матрица Гельмерта 4 до того, как ее строки были перемасштабированы:

(Редактирование добавлено в августе 2017 г.) Одним из особенно приятных аспектов этих «контрастов» (которые читаются построчно) является их интерпретируемость. Первая строка удаляется, оставляя $k-1$ оставшихся строк для представления данных. Второй ряд пропорционален разнице между второй переменной и первой. Третий ряд пропорционален разнице между третьей переменной и первыми двумя. Обычно строка $j$ ( $2\le j \le k$ ) отражает разницу между переменной $j$ и всеми предшествующими ей переменными $1, 2, \ldots, j-1$, Это оставляет первую переменную $j=1$ в качестве «основы» для всех контрастов. Я нашел эти интерпретации полезными, когда следовал ILR анализом главных компонентов (PCA): он позволяет интерпретировать нагрузки, по крайней мере, приблизительно, с точки зрения сравнений между исходными переменными. Я вставил строку в Rреализацию ilrниже, которая дает выходным переменным подходящие имена, чтобы помочь с этой интерпретацией. (Конец редактирования.)

Поскольку Rпредоставляет функцию contr.helmertдля создания таких матриц (хотя и без масштабирования, а строки и столбцы обнуляются и транспонируются), вам даже не нужно писать (простой) код для этого. Используя это, я реализовал ILR (см. Ниже). Чтобы проверить и протестировать его, я сгенерировал $1000$ независимых отрисовок из распределения Дирихле (с параметрами $1,2,3,4$ ) и нанес на график их матрицу рассеяния. Здесь $k=4$ .

Все точки слипаются около нижних левых углов и заполняют треугольные участки их областей построения, что характерно для композиционных данных.

Их ILR имеет только три переменные, опять же построенные в виде матрицы рассеяния:

Это действительно выглядит лучше: диаграммы рассеяния приобрели более характерные формы «эллиптического облака», лучше поддающиеся анализам второго порядка, таким как линейная регрессия и PCA.

Цагрис и соавт. обобщить CLR, используя преобразование Бокса-Кокса, которое обобщает логарифм. (Журнал представляет собой преобразование Бокса-Кокса с параметром $0$ ) Это полезно, поскольку, как утверждают авторы (правильно ИМХО), во многих приложениях данные должны определять их преобразование. Для этих данных Дирихля параметр $1/2$ (который находится на полпути между отсутствием трансформации и преобразованием журнала) прекрасно работает:

$1/2$ или достигли понимания.

Это обобщение реализовано в ilrфункции ниже. Команда для создания этих «Z» переменных была просто

z <- ilr(x, 1/2)

Одним из преимуществ преобразования Бокса-Кокса является его применимость к наблюдениям, которые содержат истинные нули: он все еще определяется, если параметр положительный.

Ссылки

Михаил Т. Цагрис, Саймон Престон и Эндрю Т.А. Вуд. Преобразование мощности на основе данных для композиционных данных . arXiv: 1106.1451v2 [stat.ME] 16 июня 2011 г.

Дэвид А. Харвилл, Матричная алгебра с точки зрения статистики . Springer Science & Business Media, 27 июня 2008 г.

Вот Rкод

#
# ILR (Isometric log-ratio) transformation.
# `x` is an `n` by `k` matrix of positive observations with k >= 2.
#
ilr <- function(x, p=0) {
  y <- log(x)
  if (p != 0) y <- (exp(p * y) - 1) / p       # Box-Cox transformation
  y <- y - rowMeans(y, na.rm=TRUE)            # Recentered values
  k <- dim(y)[2]
  H <- contr.helmert(k)                       # Dimensions k by k-1
  H <- t(H) / sqrt((2:k)*(2:k-1))             # Dimensions k-1 by k
  if(!is.null(colnames(x)))                   # (Helps with interpreting output)
    colnames(z) <- paste0(colnames(x)[-1], ".ILR")
  return(y %*% t(H))                          # Rotated/reflected values
}
#
# Specify a Dirichlet(alpha) distribution for testing.
#
alpha <- c(1,2,3,4)
#
# Simulate and plot compositional data.
#
n <- 1000
k <- length(alpha)
x <- matrix(rgamma(n*k, alpha), nrow=n, byrow=TRUE)
x <- x / rowSums(x)
colnames(x) <- paste0("X.", 1:k)
pairs(x, pch=19, col="#00000040", cex=0.6)
#
# Obtain the ILR.
#
y <- ilr(x)
colnames(y) <- paste0("Y.", 1:(k-1))
#
# Plot the ILR.
#
pairs(y, pch=19, col="#00000040", cex=0.6)

Для вашего случая использования, вероятно, можно просто уменьшить масштаб до одного. Тот факт, что числа не суммируют ровно 24, добавит немного дополнительного шума в данные, но это не должно сильно портить ситуацию.

$\mathbb{R}^{D-1}$$D$ пропорций.

Помимо всех технических деталей, важно знать, как правильно интерпретировать преобразованные данные. В конце концов, ilr-преобразование относится только к логарифмам групп. Но это определяет это относительно некоторой предопределенной иерархии. Если вы определите иерархию следующим образом

каждая преобразованная переменная может быть рассчитана как

$b_i = \sqrt{\frac{rs}{r + s}}\ln \frac{g(R_i)}{g(S_i)}$

$i$$R_i$$i$$S_i$$i$$g(...)$

Итак, следующий вопрос: как вы определяете иерархию переменных? Это действительно зависит от вас, но если у вас есть три переменные, не так много комбинаций, с которыми можно связываться. Например, вы можете просто определить иерархию

                        /-A
            /(A|B)-----|
-(AB|C)----|            \-B
           |
            \-C

ABC(A|B)$A$ $B$$\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \frac{A}{B}$$(AB|C)$$A$$B$$C$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \ln \frac{AB}{C}$

Но возвращаясь к исходному вопросу, как вы можете использовать эту информацию для фактического выполнения преобразования ilr?

Если вы используете R, я бы ознакомился с пакетом композиций

Чтобы использовать этот пакет, вам нужно понять, как создать последовательный двоичный раздел (SBP), как вы определяете иерархию. Для иерархии, определенной выше, вы можете представить SBP со следующей матрицей.

        A  B  C
(A|B)   1 -1  0
(AB|C)  1  1 -1

где положительные значения представляют переменные в числителе, отрицательные значения представляют переменные в знаменателе, а нули представляют отсутствие этой переменной в балансе. Вы можете построить ортонормированную основу, используя balanceBaseиз SBP, который вы определили.
Как только вы это сделаете, вы сможете передать свою таблицу пропорций вместе с базой, которую вы рассчитали выше.

Я бы проверил эту ссылку для первоначального определения сальдо

Вышеприведенные сообщения ответа на вопрос о том , как построить в ILR базу и получить остатки ILR. Чтобы добавить к этому, выбор которых основа может облегчить интерпретацию результатов.

Вас может заинтересовать раздел следующего раздела:

(1) (спящий, сидячий | физическая активность) (2) (спящий | сидячий).

Поскольку у вас есть три части в вашем составе, вы получите два ILR-баланса для анализа. Установив раздел, как описано выше, вы можете получить баланс, соответствующий «активен или нет» (1) и «какая форма неактивности» (2).

Если вы анализируете каждый баланс ILR отдельно, например, выполняя регрессию по времени суток или времени года, чтобы увидеть, есть ли какие-либо изменения, вы можете интерпретировать результаты в терминах изменений «активно или нет» и изменений в «какая форма бездействия».

Если, с другой стороны, вы будете выполнять такие методы, как PCA, которые получают новую основу в пространстве ILR, ваши результаты не будут зависеть от вашего выбора раздела. Это связано с тем, что ваши данные существуют в пространстве CLR, плоскости D-1, ортогональной к одному вектору, а весы ILR являются различными вариантами осей единичной нормы для описания положения данных на плоскости CLR.