Контрпримеры, где Медиана находится за пределами [Mode-Mean]

Эта статья выше моей лиги, но в ней говорится о теме, которая меня интересует, о связи между средним, модой и медианой. Это говорит:

Широко распространено мнение, что медиана унимодального распределения «обычно» между средним и модой. Однако это не всегда так ...

Мой вопрос : может ли кто-нибудь привести примеры непрерывных унимодальных (идеально простых) распределений, где медиана находится вне интервала [mode, mean]? Например, такой дистрибутив, как mode < mean < median.

=== РЕДАКТИРОВАТЬ =======

Уже есть хорошие ответы от Glen_b и Фрэнсиса, но я понял, что я действительно заинтересован в примере, где мода <среднее <медиана или медиана <среднее <мода (то есть и медиана находится за пределами [мода, означает] И медиана «на той же стороне», что и среднее значение для режима (т. е. для режима выше или ниже). Я могу принять ответы здесь, открыть новый вопрос или, может быть, кто-то может предложить решение здесь напрямую?

mean median mode Janthelme
источник

Нетрудно расширить ответ, чтобы охватить более ограниченный случай.

Glen_b

Посмотрите на рисунок 6 здесь: ww2.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html, который дает (непрерывный унимодальный) пример Вейбулла, где медиана не находится между модой и средним значением.

Мэтью Тауэрс

Ответы:

Конечно, нетрудно найти примеры - даже непрерывные унимодальные - где медиана не находится между средним и модальным.

Рассмотрим из треугольного распределения вида $T_1,T_2$ $f_T(t) = 2(1-t) \mathbb{1}_{0<t<1}$

Теперь пусть будет смесью 60-40 и . $X$ $T_1$ $-4T_2$

Плотность выглядит следующим образом: $X$

Среднее значение ниже 0, режим на 0, но медиана выше 0. Небольшая модификация этого приведет к примеру, где даже плотность (а не просто cdf) была непрерывной, но связь между мерами местоположения была то же самое (редактировать: см. 3. ниже).
Обобщая, давайте поместим пропорцию (с ) полной вероятности в правый треугольник и пропорцию в левый треугольник (вместо 0,6 и 0,4). у нас было раньше). Далее, сделайте коэффициент масштабирования в левой половине а не (с ): $p$ $0<p<1$ $(1-p)$ $-\beta$ $-4$ $\beta>0$

Предполагая теперь, что , медиана всегда будет в интервале, охватываемом прямоугольным треугольником, поэтому медиана будет превышать режим (который всегда будет оставаться в ). В частности, когда , медиана будет равна . $p>\frac12$ $0$ $p>\frac12$ $1-1/\sqrt{2p}$

Среднее значение будет при . $(p - \beta(1-p))/3$

Если то среднее значение будет ниже моды, а если среднее будет выше моды. $\beta>p/(1-p)$ $\beta< p/(1-p)$

С другой стороны, мы хотим, чтобы сохранял среднее значение ниже медианы. $(p - \beta(1-p))/3 < 1-1/\sqrt{2p}$

Рассмотрим ; это ставит медиану выше моды. $p=0.7$

Тогда будет удовлетворять поэтому среднее значение выше моды. $\beta=2$ $\beta<p/(1-p)$

Медиана на самом деле составляет то время как среднее значение составляет . Следовательно, для и у нас есть мода <среднее <медиана. $1-1/\sqrt{1.4}\approx 0.1548$ $\frac{0.7-2(0.3)}{3}\approx 0.0333$ $p=0.7$ $\beta=2$

(NB. Для согласованности с моими обозначениями переменная на оси x для обоих графиков должна быть а не но я не собираюсь возвращаться и исправлять ее.) $x$ $t$
Это пример, где сама плотность непрерывна. Он основан на подходе, описанном в пунктах 1. и 2. выше, но с заменой «скачка» на крутой склон (а затем вся плотность перевернулась примерно на 0, потому что я хочу, чтобы пример выглядел вправо).

[Используя подход «смеси треугольных плотностей», он может быть сгенерирован как смесь 3 независимых масштабированных вариаций треугольной формы, описанных в разделе 1. Теперь у нас есть 15% , 60% и 25% .] $T_1$ $-3T_2$ $5T_3$

Как мы видим на диаграмме выше, среднее значение находится посередине, как и требовалось.

Обратите внимание, что m_t_ упоминает Вейбулла в комментариях (для которых медиана находится вне интервала для небольшого диапазона параметра формы ). Это потенциально удовлетворительно, потому что это хорошо известное унимодальное непрерывное (и гладкое) распределение с простой функциональной формой. $[\text{mode},\text{mean}]$ $k$

В частности, для малых значений параметра формы Вейбулла распределение является асимметричным, и мы имеем обычную ситуацию медианы между модой и средним значением, в то время как для больших значений параметра формы Вейбулла распределение является левосторонним. и мы снова имеем эту ситуацию «медиана в середине» (но теперь с модой справа, а не со средним значением). Между этими случаями находится небольшая область, где медиана находится за пределами интервала средней моды, а в середине этого значения среднее значение и мода пересекаются:
```
      k                 order
 (0,3.2589)      mode < median < mean
  ≈ 3.2589       mode = median < mean
(3.2589,3.3125)  median < mode < mean    (1)
  ≈ 3.3215       median < mode = mean
(3.3215,3.4395)  median < mean < mode    (2)
  ≈ 3.4395       median = mean < mode
  3.4395+        mean < median < mode
  (≈3.60235      moment-skewness = 0)
```
Выбирая удобные значения для параметра формы в интервалах, отмеченных (1) и (2) выше - те, где промежутки между статистикой местоположения примерно равны - мы получаем:

Хотя они удовлетворяют требованиям, к сожалению, три параметра местоположения находятся настолько близко друг к другу, что мы не можем визуально различить их (все они попадают в один и тот же пиксель), что немного разочаровывает - случаи для моих предыдущих примеров гораздо более разделены. (Тем не менее, он предлагает ситуации для изучения с другими распределениями, некоторые из которых могут дать результаты, которые являются более визуально отличными.)

Glen_b - Восстановить Монику
источник

Это работает, спасибо. Из любопытства, что было бы подобным «треугольным распределением», где мода <означает <медиана? (здесь медиана <мода <среднее)

Джантхельм

На самом деле в моем исходном примере имеется в виду <режим <медиана; у вас были неравенства назад. Теперь я добавил аналогичный пример, где среднее значение выше моды, но ниже медианы (действительно, вы могли бы просто заменить исходный скажем, и сохранить пропорции смеси на уровне для правой части и для левая часть).

- 4 T_{2}

$-4T_2$

- 1.25 T_{2}

$-1.25T_2$

0.6

$0.6$

0.4

$0.4$

Glen_b

Следующий пример взят из контрпримеров Джордана Стоянова по вероятности .

Учитывая положительную постоянную и , рассмотрим случайную величину с плотностью Среднее значение , медиана и мода для можно найти как Примечание является плотностью, только если Поэтому, если мы допустим то . В результате, если мы выберем это близко к $c$ $\lambda$ $X$

f (x) = {\begin{cases} c e^{- λ (x - c)}, & x \in (c, \infty) \\ x, & x \in (0, c] \\ 0, & x \in (- \infty, 0] . \end{cases}

$f(x)=\begin{cases}ce^{-\lambda(x-c)}, & x\in(c, \infty) \\ x, & x\in(0, c] \\ 0, & x\in(-\infty,0].\end{cases}$

μ

$\mu$

m

$m$

M

$M$

X

$X$

μ = \frac{c^{3}}{3} + \frac{c^{2}}{λ} + \frac{c}{λ^{2}}, m = 1, M = c .

$\mu=\frac{c^3}{3}+\frac{c^2}{\lambda}+\frac{c}{\lambda^2},\qquad m=1,\qquad M=c.$

f (x)

$f(x)$

\frac{c^{2}}{2} + \frac{c}{λ} = 1.

$\frac{c^2}{2}+\frac{c}{\lambda}=1.$

c \to 1

$c\to1$

λ \to 2

$\lambda\to2$

c > 1

$c>1$

1

$1$ (скажем ), мы можем обнаружить , что и , так что медиана не падает между и .

1.0001

$1.0001$

μ > c

$\mu>c$

M = c

$M=c$

m

$m$

μ

$\mu$

M

$M$

Фрэнсис
источник

Возьмите экспоненциальное распределение с параметром скорости a и плотностью a exp (-ax) для 0 <= x <бесконечность. Режим в нуле. Конечно, среднее значение и медиана больше 0. Cdf - 1-exp (-ax). Поэтому для медианы решите для exp (-ax) = 0,5 для x. Тогда -ax = ln (0.5) или x = -ln (0.5) / a. Для среднего интегрируем ax exp (-ax) от 0 до бесконечности. Возьмем a = 1, и мы имеем медиану = -ln (0.5) = ln (2) и среднее значение = 1.

Таким образом, режим <средний <средний.

Майкл Р. Черник
источник

Извините, но разве мы не ищем распределения, где мода <означает <медиана (или, в более общем случае, где медиана находится за пределами [мода, средняя])?

Джантхельм

Извините за путаницу, я добавил к исходному вопросу, но первоначально я спрашивал примеры, где медиана находится вне [mode, mean], а я думаю, что медиана находится внутри [mode, median] в вашем примере.

Джантхельм

Майкл, вопрос не задает случай, когда медиана находится между модой и средним. Вы неверно цитируете оригинал в своем комментарии чуть выше этого; вопрос не говорит «mode <median <mean», когда вы заявляете, что он делает (и никогда не делал этого ни в какой момент в истории редактирования). В результате ваш ответ содержит случай, который не запрашивается; действительно, это обычная ситуация (медиана в середине двух других), из которой вопрос ищет исключения. Почти любое известное перекошенное унимодальное распределение имеет медиану в середине - хитрость заключается в том, чтобы найти те, которые этого не делают.

Glen_b

Историю редактирования можно получить, нажав на красную ссылку в нижней части вопроса, где в настоящее время написано «отредактировано 18 часов назад» (она изменилась на 19, когда я печатал эти комментарии). Вы можете увидеть историю изменений, нажав там. Вопрос был опубликован 22 часа назад (как я сейчас набираю), и когда вы нажимаете на историю изменений, этот оригинальный вопрос можно увидеть внизу с пометкой «1». Ваш ответ появился примерно через 2 часа (20 часов назад), когда это было тем же вопросом. Примерно через 1-2 часа после вашего сообщения ОП отредактировал свой вопрос один раз, что видно ...

Glen_b

ctd ... наверху истории редактирования .. После каждого редактирования есть двухминутное окно для внесения изменений, которые считаются частью этого редактирования (то есть 22 часа назад и 18-19 часов назад было два минутное окно каждый раз, когда говорят, что опечатка могла быть исправлена), но ~ 20 часов назад, когда вы отправляли сообщение, вопрос не менялся в течение примерно 2 часов, и он оставался неизменным в течение более часа после публикации, когда основное редактирование ( показано в истории редактирования). Любые изменения вне этих коротких двухминутных окон после редактирования будут в истории редактирования.

Glen_b