Вычисление нового стандартного отклонения с использованием старого стандартного отклонения после изменения набора данных

У меня есть массив из $n$ реальных значений, который имеет среднее значение $\mu_{old}$ и стандартное отклонение $\sigma_{old}$ . Если элемент массива $x_i$ заменяется другим элементом , то новое среднее значение будет$x_j$

$\mu_{new}=\mu_{old}+\frac{x_j-x_i}{n}$

Преимущество этого подхода в том, что он требует постоянного вычисления независимо от значения . Есть ли какой-либо подход к вычислению с использованием как вычисление с использованием ?$n$$\sigma_{new}$$\sigma_{old}$$\mu_{new}$$\mu_{old}$

Раздел в статье Википедии о «Алгоритмы для вычисления дисперсии» показывает , как вычислить дисперсию , если элементы добавляются к вашим наблюдениям. (Вспомните, что стандартное отклонение - это квадратный корень из дисперсии.) Предположим, что вы добавили в свой массив, затем$x_{n+1}$

РЕДАКТИРОВАТЬ : Выше формула, кажется, неправильно, см. Комментарий.

Теперь замена элемента означает добавление наблюдения и удаление другого; оба могут быть вычислены по формуле выше. Однако имейте в виду, что могут возникнуть проблемы численной устойчивости; цитируемая статья также предлагает численно стабильные варианты.

Для того, чтобы вывести формулу самостоятельно, вычислить с использованием определения образца дисперсии и заменить ц н е ш по формуле вы дали , когда это необходимо. Это дает вам σ 2 n e w - σ 2 o l d в конце, и, таким образом, формула для σ n e w задана σ o l d и$(n-1)(\sigma_{new}^2 - \sigma_{old}^2)$$\mu_{new}$$\sigma_{new}^2 - \sigma_{old}^2$$\sigma_{new}$$\sigma_{old}$ . В моей записи я предполагаю, что вы заменяете элемент x n на x ′ n :$\mu_{old}$$x_n$$x_n'$

$x_k$$\mu_{old}$

Based on what i think i'm reading on the linked Wikipedia article you can maintain a "running" standard deviation:

real sum = 0;
int count = 0;
real S = 0;
real variance = 0;

real GetRunningStandardDeviation(ref sum, ref count, ref S, x)
{
   real oldMean;

   if (count >= 1)
   {
       real oldMean = sum / count;
       sum = sum + x;
       count = count + 1;
       real newMean = sum / count;

       S = S + (x-oldMean)*(x-newMean)
   }
   else
   {
       sum = x;
       count = 1;
       S = 0;         
   }

   //estimated Variance = (S / (k-1) )
   //estimated Standard Deviation = sqrt(variance)
   if (count > 1)
      return sqrt(S / (count-1) );
   else
      return 0;
}

Although in the article they don't maintain a separate running sum and count, but instead have the single mean. Since in thing i'm doing today i keep a count (for statistical purposes), it is more useful to calculate the means each time.

Given original $\bar x$, $s$, and $n$, as well as the change of a given element $x_n$ to $x_n'$, I believe your new standard deviation $s'$ will be the square root of

Maybe there is a snazzier way of writing it?

I checked this against a small test case and it seemed to work.