Использование

12

Предположим, что у меня есть iid и я хочу сделать проверку гипотезы, что равно 0. Предположим, у меня большое n и я могу использовать центральную предельную теорему. Я также мог бы проверить, что равно 0, что должно быть эквивалентно проверке, что равно 0. Кроме того, сходится к хи-квадрату, где сходится к нормали. Поскольку имеет более высокую скорость сходимости, я не должен использовать это для статистики теста, и, таким образом, я получу более высокую скорость сходимости, и тест будет более эффективным? μ μ 2 μX1,,Xnμμ2μn(X¯20) ˉ X 2n(X¯0)X¯2

Я знаю, что эта логика неверна, но я долго думал и искал и не могу понять, почему.

Сюй Ван
источник
1
Не понятно, о чем вы спрашиваете. Не могли бы вы объяснить, в каком смысле скорость сходимости «выше», чем скорость ˉ X ? Как вы измеряете скорость? Какую статистику тестов вы используете в двух тестах? Очевидно, что этот выбор может иметь значение. X¯2X¯
whuber
@whuber спасибо за вопросы. Я утверждаю «более высокая скорость», потому что n больше, чем квадратный корень из n. Это неверная интуиция? Я имею в виду тест статистики X-bar или X-bar в квадрате.
Сюй Ван
3
Я думаю, что вы сосредоточены на неправильной вещи. Эта скорость говорит о том, как быстро распределение выборки приближается к предельному - либо стандартное нормальное значение, либо . Поскольку n большое, его значение не имеет практического значения - оно не имеет значения. Проблема заключается в силе каждого теста, а не в том, насколько хорошо аппроксимирована статистика теста для предельного распределения. χ2(1)n
whuber
@whuber спасибо за эти детали. Я думал о них, но все еще не понимаю. Не будет ли приблизительная дисперсия X-bar ^ 2 в конечном итоге меньше, чем приблизительная дисперсия X-bar? И разве это не результат того, что X-bar ^ 2 имеет более высокую скорость сходимости, чем X-bar? Я извиняюсь за то, что не вижу моих фундаментальных недоразумений. Я знаю, что есть что-то большое, что мне не хватает, и надеюсь исправить это мышление.
Сюй Ван
Не имеет значения, является ли приблизительная дисперсия большей или меньшей, потому что учитывается распределение статистики. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим t-критерий для с x N ( 0 , 1 ) и y N ( 0 , 10 ) . Статистика ˉ y всегда имеет дисперсию в 100 раз больше, чем ˉ x , но нормализация приводит к распределению обеих фактических статистических данных t ( n - 1 ) . В вашем случае помните, что квадрат Nμ=0xN(0,1)yN(0,10)y¯x¯t(n1) переменная дает переменную χ 2 . В пределе это преобразование означает, что оба теста идентичны с точки зрения их мощности при заданном уровне. N(0,1)χ2
Jbowman

Ответы:

1

Оба теста, которые вы описываете, эквивалентны.

Если у меня есть две гипотезы: H 1 : μ 0

H0:μ=0
H1:μ0

тогда они эквивалентны

H0:μ2=0
H1:μ2>0.

Если известно, что данные являются нормальными, то выборка означает X¯μσ2/n

Если данные не известны как нормальные, то вы можете использовать центральную предельную теорему, и приведенное выше будет асимптотически верно. Вы утверждаете, чтоX¯2X¯n

P(|X¯μ|>|X¯2μ2|)1

X¯χ2

JDL
источник