Какова формула для скорректированного p-значения Бенджамини-Хохберга?

Я понимаю процедуру и то, что она контролирует. Итак, какова формула для скорректированного значения p в процедуре ЧД для множественных сравнений?

Только сейчас я понял, что исходная ЧД не выдает скорректированные значения p, а только скорректировала (не) условие отклонения: https://www.jstor.org/stable/2346101 . Гордон Смит в любом случае ввел скорректированные p-значения ЧД в 2002 году, поэтому этот вопрос остается в силе. Это реализовано в R как p.adjustс методом BH.

В известной оригинальной статье Benjamini & Hochberg (1995) описана процедура принятия / отклонения гипотез, основанная на корректировке уровней альфа. Эта процедура имеет простую эквивалентную переформулировку в терминах скорректированных $p$ значений, но она не обсуждалась в оригинальной статье. По словам Гордона Смита , он ввел скорректированные $p$ в 2002 году при реализации p.adjustв R. К сожалению, нет соответствующей цитаты, поэтому мне всегда было неясно, на что следует ссылаться, если использовать $p$ -значения, скорректированные с помощью BH .

Оказывается, процедура описана в Benjamini, Heller, Yekutieli (2009) :

Альтернативным способом представления результатов этой процедуры является представление скорректированных $p$ значений. Скорректированные по ЧД значения $p$ определяются как

$$p^\mathrm{BH}_{(i)} = \min\Big\{\min_{j\ge i}\big\{\frac{mp_{(j)}}{j}\big\},1\Big\}.$$

Эта формула выглядит сложнее, чем есть на самом деле. Это говорит:

1. Сначала упорядочьте все $p$ от малого к большому. Затем умножьте каждое $p$ значение на общее количество тестов $m$ и разделите его по порядку рангов.
2. Во-вторых, убедитесь, что результирующая последовательность неубывающая: если она когда-либо начинает уменьшаться, сделайте предыдущее значение $p$ равным последующему (многократно, пока вся последовательность не станет неубывающей).
3. Если какое-либо значение $p$ окажется больше 1, сделайте его равным 1.

Это простая переформулировка первоначальной процедуры BH с 1995 года. Возможно, существует более ранняя статья, в которой явно вводится концепция скорректированных по BH $p$ значений, но я не знаю ни о какой.

Обновить. @Zenit обнаружил, что Yekutieli & Benjamini (1999) описали то же самое еще в 1999 году:

Сначала ответ на вопрос. Предположим, что является значением p (одиночного теста), связанным со значением z 0 статистики теста. FDR Бенджамини-Хохберга вычисляется в два этапа ( N 0 = # pvalues ≤ p 0 , N = # pvalues):$p_0$$p$$z_0$$N_0$$\le$ $p_0$$N$

• $\text{FDR }(p_0) = \frac{\quad p_0 \quad }{\frac{N_0}{N}}$

• $\text{FDR }(p_i) = \min (\text{FDR}(p_i), \text{FDR}(p_{i+1}))$

Теперь давайте это поймем. (Байесовская) основная идея заключается в том, что наблюдения происходят из смеси двух распределений:

• $\pi_0 \: N$$f_0(z)$
• $(1-\pi_0) \: N$$f_1(z)$

То, что наблюдается, является смесью этих двух:

• $f(z) = \pi_0 \cdot f_0(z) + (1-\pi_0) \cdot f_1(z)$

(Байесовские) определения:

• $\text{Fdr} = \frac{\pi_0 \: (1-F_0(z_0))}{(1-F(z))}$
• $\text{fdr} = \frac{\pi_0 \: f_0(z_0)}{f(z)}$

$\pi_0 \approx 1$

(На основе статистического вывода Эфрона и Тибширани о компьютерном веке )