«Модератор» влияет на коэффициенты регрессии Y против X : они могут изменяться при изменении значений модератора. Таким образом, в полной общности простая регрессионная модель модерации
E(Y)=α(M)+β(M)X
где и являются функции замедлителя , а не постоянные , не затронутые значения .βαβMMM
В том же духе, в котором регрессия основана на линейном приближении отношений между и , мы можем надеяться, что и и являются, по крайней мере, приблизительно, линейными функциями во всем диапазоне значений в данных:Y αXYαM MβMM
E(Y)=α0+α1M+O(M2)+(β0+β1M+O(M2))X=α0+β0X+α1M+β1MX+O(M2)+O(M2)X.
Отбрасывание нелинейных ("больших-O") слагаемых в надежде, что они слишком малы для материи, дает модель мультипликативного (билинейного) взаимодействия
E(Y)=α0+β0X+α1M+β1MX.(1)
Этот вывод предполагает интересную интерпретацию коэффициентов: является скорость , при которой изменяет перехват в то время как является скорость , при которой меняет наклон . ( и - это наклон и , когда (формально) установлен на ноль.) - это коэффициент «слагаемого продукта» . Это отвечает на вопрос таким образом: M β 1 M α 0 β 0 Mα1Mβ1Mα0β0M M Xβ1MX
Мы моделируем модерацию с термином продукта , когда мы ожидаем , что модератор будет (примерно в среднем) имеет линейную зависимость с наклоном против .МMXMXY X
Интересно, что этот вывод указывает путь к естественному расширению модели, которая может предложить способы проверки правильности соответствия. Если вас не волнует нелинейность в вы либо знаете, либо предполагаете, что модель точна, - тогда вы захотите расширить модель, чтобы она соответствовала пропущенным терминам:( 1 )X(1)
E(Y)=α0+β0X+α1M+β1MX+α2M2+β2M2X.
Проверка гипотезы оценивает соответствия. Оценка и может указывать, каким образом может потребоваться расширение модели : включить нелинейность в (когда ) или более сложные модерирующие отношения (когда ) или, возможно, и то и другое. (Обратите внимание, что этот тест не будет предложен расширением степенной серии обобщенной функции .)α 2 β 2 ( 1 ) М α 2 ≠ 0 β 2 ≠ 0α2=β2=0α2β2(1)Mα2≠0β2≠0f(X,M)
Наконец, если вы обнаружите, что коэффициент взаимодействия существенно не отличается от нуля, но что подгонка является нелинейной (о чем свидетельствует значительное значение ), то вы пришли бы к выводу, что (a) существует умеренность, но ( б) он не моделируется термином , а вместо этого - членами более высокого порядка, начинающимися с . Возможно, это тот феномен, о котором говорил Кенни.β 2 M X M 2 Xβ1β2MXM2X
Вы не найдете формального доказательства использования мультипликативного модератора. Вы можете поддержать этот подход другими способами. Например, посмотрите на разложение Тейлора-Маклаурина функции :f(X,M)
Если вы подключите функцию этой формы в уравнение Тейлора, вы получите это:f(X,M)=β0+βXX+βMM+βXMXM
Итак, обоснование здесь заключается в том, что эта конкретная мультипликативная форма модерации является в основном приближением Тейлора второго порядка общего отношения модерацииf(X,M)
ОБНОВЛЕНИЕ: если вы включите квадратичные термины, как предложил @whuber, то это произойдет: подключите это к Тейлору:
Это показывает, что наша новая модель с квадратичными членами соответствует полному приближению Тейлора второго порядка, в отличие от исходной модели модерации .f ( X , M )g(X,M) f(X,M)
источник