Пусть обозначает время смерти (или время неудачи, если вы предпочитаете менее болезненное описание). Предположим, что X - непрерывная случайная величина, функция плотности которой f ( t ) отлична от нуля только на
( 0 , ∞ ) . Теперь обратите внимание, что это должен быть случай, когда f ( t )
затухает до 0 при t → ∞, потому что если f ( t ) не затухает, как указано, то
∫ ∞ - ∞ (XXf(t)(0,∞)f(t)0t→∞f(t) не может удерживаться. Таким образом, ваше мнениечтоф(Т)есть вероятность смерти в момент времениT
(самом деле, этое(Т)Δтчто составляет (приблизительно) вероятность смерти вкороткоминтервале(T,T+Δт]
из длинаΔт) приводит к неправдоподобным и невероятным выводамтаким как∫∞−∞f(t)dt=1f(T)Tf(T)Δt(T,T+Δt]Δt
У вас больше шансов умереть в следующем месяце, когда вам тридцать лет, чем когда вам девяносто восемь лет.
всякий раз, когда таково, что f ( 30 ) > f ( 98 )f(t)f(30)>f(98) .
Причина , (или F ( T ) Δ т ) является «неправильным» вероятность взглянуть на то , что значение ф ( Т ) представляет интерес только для тех , кто жив в возрасте Т (и до сих пор мысленно достаточно настороже, чтобы регулярно читать stats.SE!) На что следует обратить внимание, так это на вероятность смерти Т- летнего ребенка в течение следующего месяца, то естьf(T)f(T)Δtf(T)TT
P{(X∈(T,T+Δt]∣X≥T} definition of conditional probabilitybecause X is a continuous rv=P{(X∈(T,T+Δt])∩(X≥T)}P{X≥T}=P{X∈(T,T+Δt]}P{X≥T}=f(T)Δt1−F(T)
Выбор быть две недели, неделю, день, час, минута, и т.д. , мы приходим к выводу , что (мгновенная) Степень риска для А Т -YEAR староеΔtT
h(T)=f(T)1−F(T)
в том смысле , что приблизительная вероятность смерти в следующем фемтосекундного
из Т -летний старого е ( Т ) Δ т(Δt)Tf(T)Δt1−F(T).
f(t)1∫∞0h(t)dt F(t)
F(t)=1−exp(−∫t0h(τ)dτ)
and since
limt→∞F(t)=1, it must be that
limt→∞∫t0h(τ)dτ=∞,
or stated more formally, the integral of the hazard rate
must diverge: there is no
potential divergence as a previous edit claimed.
Typical hazard rates are increasing functions of time, but
constant hazard rates (exponential lifetimes) are possible. Both of these kinds of hazard rates obviously have divergent integrals. A less common scenario (for those who believe that things improve with age, like fine wine does) is a hazard rate that decreases with time but slowly enough that
the integral diverges.
Imagine that you are interested in the incidence of (first) marriage for men. To look at the incidence of marriage at age 20, say, you would select a sample of people who are not married at that age and see if they get married within the next year (before they turn 21).
The you could get a rough estimate for
So basically this is just using the definition of conditional probability,
The hazard would then be the instantaneous probability of marriage at aget , for a non-married individual.
We can write this as
источник
Notice there is a problem: your probability of dying when you already died before is rather problematic. So it makes more sense to compute the probability of dying conditional on having survived thus far.1−F(t) it the probability of having survived until t , so dividing the probabilty density by that probability, will get us the expected number of times we will die within the next unit of time conditional on not having died before. That is the hazard rate.
источник