Я привык знать "степени свободы" как , где у вас есть линейная модель \ mathbf {y} = \ mathbf {X} \ boldsymbol {\ beta} + \ boldsymbol {\ epsilon} с \ mathbf {y } \ in \ mathbb {R} ^ n , \ mathbf {X} \ in M_ {n \ times p} (\ mathbb {R}) проектная матрица с рангом r , \ boldsymbol {\ beta} \ in \ mathbb { R} ^ p , \ boldsymbol {\ epsilon} \ in \ mathbb {R} ^ n с \ boldsymbol {\ epsilon} \ sim \ mathcal {N} (\ mathbf {0}, \ sigma ^ 2 \ mathbf {I} _n) , \ sigma ^ 2> 0 .
Из того, что я вспоминаю об элементарной статистике (то есть, о предлинейных моделях с линейной алгеброй), степени свободы для критерия согласованных пар - это число разностей минус . Так что это может повлечь за собой с рангом 1, возможно. Это правильно? Если нет, то почему является степенью свободы для критерия для согласованных пар ?
Чтобы понять контекст, предположим, у меня есть модель смешанных эффектов
Я хотел бы указать доверительный интервал для \ mu_1 - \ mu_2 .
Я уже показал, что является объективной оценкой , где , и определяется аналогично. Оценка точки была вычислена.
Я уже показал, что
Теперь последняя часть выясняет степени свободы. Для этого шага я обычно пытаюсь найти матрицу проектирования - которая, очевидно, имеет ранг 2 - но у меня есть решение этой проблемы, и оно говорит, что степень свободы составляет .
В контексте определения ранга проектной матрицы, почему степени свободы ?
Отредактировано, чтобы добавить: Возможно, полезно в этом обсуждении, как определяется статистика теста. Предположим, у меня есть вектор параметров . В этом случае (если я что-то не совсем упустил). По сути, мы выполняем тест гипотезы где . Затем статистика теста определяется как который будет проверен на центральном -распределении с
источник
Большое, большое спасибо Майклу Харди за ответ на мой вопрос.
Идея заключается в следующем: let и . Тогда наша линейная модель имеет вид где является вектором всех единиц, и Очевидно, имеет ранг , поэтому у нас есть степеней свободы ,
Как мы знаем, чтобы установить равным ? Напомним, что и, как легко увидеть, для всех . Учитывая наш , очевидно, каким должен быть . Это потому чтоβ [μ1−μ2]
Установите . Тогда наш тест гипотезы будет Таким образом, наша статистика теста будет У нас есть После некоторой работы можно показать, что Также можно показать, чтоc′=[1]
источник