Статистические различия в двух квалификационных форматах Формулы 1

Я только что прочитал эту статью BBC о квалификационном формате в Формуле 1.

Организаторы хотят сделать квалификацию менее предсказуемой, то есть увеличить статистические различия в результате. Заметив несколько не относящихся к делу деталей, на данный момент гонщики оцениваются по их лучшим одиночным кругам из (для конкретности) двух попыток.

Один из руководителей Формулы 1 Жан Тодт предположил, что ранжирование гонщиков в среднем за два круга увеличило бы статистические различия, поскольку вероятность того, что гонщики допустят ошибку в два раза выше. Другие источники утверждали, что любое усреднение несомненно уменьшит статистическую вариацию.

Можно ли сказать, кто прав при разумных предположениях? Я полагаю, что это сводится к относительной дисперсии и , где и - случайные переменные, представляющие два времени круга водителя?$\text{mean}(x,y)$$\text{min}(x,y)$$x$$y$

Я думаю, что это зависит от распределения времени круга.

Пусть $X,Y$ независимы, одинаково распределены.

1. Если $P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}$$Var(\frac{X+Y}{2}) = \frac{1}{8} < Var( \min(X,Y)) = \frac{3}{16}.$
2. Однако, если , то $P(X=0) = 0.9, P(X=100)=0.1$$Var(\frac{X+Y}{2}) = 450 > Var( \min(X,Y)) = 99.$

Это согласуется с аргументом, упомянутым в вопросе о том, как сделать ошибку (т. Е. Работать исключительно долго с небольшой вероятностью). Таким образом, мы должны знать распределение времени прохождения круга, чтобы принять решение.

Не ограничивая общности, предположим, что и обе эти переменные взяты из одного и того же распределения с определенным средним и дисперсией.$y \leq x$

улучшается на { x } ,$\{y,x\}$$\{x\}$

случай 1, значит: ,$\frac{y-x}{2}$

случай 2, мин: .$y-x$

Следовательно, среднее значение имеет половину влияния на улучшение (которое обусловлено дисперсией), чем взятие минимума (для 2 испытаний). То есть среднее ослабляет изменчивость.

Вот мое доказательство Var [Mean]

Для 2 случайных величин x, y существует связь между их средним значением, а также max и min.

Следовательно,

$$2\,Mean(x,y) = Min(x,y) + Max(x,y)$$ Если теперь предположить, что распределение симметрично относительно среднего, то V a r [ M i n ( x , y ) ] = V a r [ M a x ( x , y ) ] Тогда $$4\,Var[Mean] = Var[Min]+Var[Max]+2\,Cov[Min,Max]$$ $$Var[Min(x,y)]=Var[Max(x,y)]$$ и C o v [ M i n , M a x ] < = s q r t ( V a r [ M i n ] V a r [ M a x ] ) = V a r [ M i n ] Следовательно, $$4\,Var[Mean] = 2\,Var[Min] + 2\,Cov[Min,Max]$$ $$Cov[Min,Max]<=sqrt(Var[Min]Var[Max])=Var[Min]$$ Из этого вывода также легко видеть, что для обращения этого неравенства необходимо распределение с очень резким усечением распределения на отрицательной стороне Значение. Например, для экспоненциального распределения среднее имеет большую дисперсию, чем мин. $$Var[Mean]<=Var[Min]$$

Хороший вопрос, спасибо! Я согласен с @sandris в том, что распределение времени прохождения круга имеет значение, но хотел бы подчеркнуть, что причинные аспекты этого вопроса должны быть рассмотрены. Я предполагаю, что F1 хочет избежать скучной ситуации, когда одна и та же команда или гонщик доминирует в спорте из года в год, и что они особенно надеются представить (приносящий доход!) Волнение реальной возможности того, что «горячие» новые водители могут внезапно возникают в спорте.

То есть я предполагаю, что есть надежда подорвать слишком стабильный рейтинг команд / гонщиков. (Рассмотрим аналогию с повышением температуры при моделируемом отжиге .) Тогда возникает вопрос, каковы причинные факторы на работе и как они распределяются среди населения водителей / команд, чтобы создать постоянное преимущество для нынешних сотрудников. (Рассмотрим аналогичный вопрос о взимании высоких налогов на наследство для «выравнивания игрового поля» в обществе в целом.)

$n$

Предположим, с другой стороны, что отказ двигателя является неконтролируемым событием с одинаковой вероятностью для всех команд, и что текущий рейтинг правильно отражает подлинную градацию качества гонщика / команды по многим другим факторам. В этом случае неудача при отказе двигателя обещает быть единственным «фактором выравнивания», который F1 может использовать для достижения большего равенства возможностей - по крайней мере без жестких манипуляций ранжирования, которые разрушают видимость «конкуренции». В этом случае политика, которая влечет за собой серьезные штрафы за отказы двигателей (которые являются единственным фактором в этом сценарии, не действующим относительно в пользу действующих операторов), обещает способствовать нестабильности рейтинга. В этом случае упомянутая выше политика best-of-n была бы совершенно неверной политикой.

Я в целом согласен с другими ответами, что среднее из двух прогонов будет иметь меньшую дисперсию, но я считаю, что они пропускают важные аспекты, лежащие в основе проблемы. Многое связано с тем, как водители реагируют на правила и свои стратегии для квалификации.

Например, если пройти всего один круг, гонщики будут более консервативными, а потому более предсказуемыми и скучными. Идея с двумя кругами состоит в том, чтобы позволить гонщикам рисковать на одном, чтобы попытаться получить тот «идеальный круг», с другим, доступным для консервативного пробега. Больше пробежек будет занимать много времени, что также может быть скучно. Текущая настройка может быть просто «сладкой точкой», чтобы получить наибольшее количество действий в кратчайшие сроки.

Также обратите внимание, что при усредненном подходе водителю нужно найти самое быстрое повторяемое время круга. При минимальном подходе водитель должен двигаться как можно быстрее всего за один круг, вероятно, продвигаясь дальше, чем при усредненном подходе.

Это обсуждение ближе к теории игр. Ваш вопрос может получить лучшие ответы, если его оформить в таком свете. Затем можно было бы предложить другие методы, например, возможность для водителя сбросить время первого круга в пользу второго пробега и, возможно, более быстрого или более медленного времени. И т.п.

Также отметим, что в этом году была предпринята попытка изменить квалификацию, которая в целом подтолкнула гонщиков к одному консервативному кругу. https://en.wikipedia.org/wiki/2016_Formula_One_season#Qualifying Результат был расценен как катастрофа и быстро отменен.