Методы ротации факторов (варимакс, облимин и т. Д.) - что означают имена и что делают методы?

Факторный анализ имеет несколько методов ротации, таких как варимакс, квартимакс, эквамакс, промакс, облимин и т. Д. Я не могу найти какую-либо информацию, которая связывает их имена с их фактическими математическими или статистическими действиями. Почему это называется "Equa-Max" или "Quti-Max"? Как вращаются оси или матрицы, чтобы они имели такое название?

К сожалению, большинство из них были изобретены в 1950-1970-х годах, поэтому я не могу связаться с их авторами.

Этот ответ следует за этим общим вопросом о вращениях в факторном анализе (пожалуйста, прочитайте его) и кратко описывает ряд конкретных методов.

Вращения выполняются итеративно и для каждой пары факторов (столбцы матрицы загрузки). Это необходимо потому , что задача оптимизации ( макс imize или мин imize) объективный критерий одновременно для всех факторов будет математически трудно. Однако, в конце концов, конечная матрица вращения собрана так, что вы можете воспроизвести вращение самостоятельно, умножив извлеченные на нее нагрузки , , получив матрицу повернутой факторной структуры , Объективный критерий некоторого свойство элементов (нагрузки) результирующей матрица .$\bf Q$$\bf A$$\bf AQ=S$$\bf S$$\bf S$

Quartimax ортогональное вращение стремится к максимальной imize на сумме всех нагрузок , поднятых к власти 4 в . Отсюда и его название («четверти», четыре). Было показано, что достижение этой математической цели в достаточной степени соответствует удовлетворению критерия 3-го Терстона «простой структуры», который звучит так: для каждой пары факторов имеется несколько (в идеале> = m) переменных с нагрузками, близкими к нулю, для любого из двух и далеко от нуля для другого фактора . Другими словами, будет много больших и много маленьких нагрузок; и точки на графике нагрузки, построенные для пары повернутых факторов, в идеале должны располагаться близко к одной из двух осей. Quartimax, таким образом, сводит к минимуму количество факторов, необходимых для объяснения переменной$\bf S$: это «упрощает» строки матрицы загрузки. Но четвертикс часто производит так называемый «общий фактор» (который в большинстве случаев нежелателен в FA переменных; я полагаю, он более желателен в так называемой FA Q-mode респондентов).

VariMAX ортогональным вращения стремится макс imize дисперсия квадратов нагрузок в каждом факторе в . Поэтому его имя ( вар iance). В результате каждый фактор имеет только несколько переменных с большими нагрузками на фактор$\bf S$, Varimax напрямую «упрощает» столбцы матрицы загрузки и тем самым значительно облегчает интерпретацию факторов. На графике нагрузки точки растянуты вдоль оси фактора и имеют тенденцию поляризоваться в положение, близкое к нулю и далеко от нуля. Это свойство, по-видимому, в определенной степени удовлетворяет сочетанию простых точек структуры Терстона. Однако Varimax небезопасен для создания точек, лежащих далеко от осей, то есть «сложных» переменных, нагруженных более чем одним фактором. Плохо это или хорошо, зависит от области исследования. Varimax хорошо работает в основном в сочетании с так называемой нормализацией Кайзера(временно выравнивая сообщества во время вращения), рекомендуется всегда использовать его с varimax (и рекомендуется использовать его с любым другим методом). Это самый популярный метод ортогонального вращения, особенно в психометрии и социальных науках.

Ортогональное вращение Equamax (редко - Equimax) можно рассматривать как метод, уточняющий некоторые свойства варимакса. Он был изобретен в попытках его дальнейшего улучшения. Выравнивание относится к специальному взвешиванию, которое Saunders (1962) ввел в рабочую формулу алгоритма. Equamax самонастраивается в зависимости от числа вращающихся факторов. Он имеет тенденцию распределять переменные (сильно нагруженные) более равномерно между факторами, чем варимакс, и, следовательно, менее склонен давать «общие» факторы. С другой стороны, эквамакс не задумывался как отказ от цели квотимакса по упрощению строк; Эквамакс - это скорее комбинация варимакса и квартмаксачем их промежуточный. Однако эквамакс, как утверждается, значительно менее «надежен» или «стабилен», чем варимакс или квартмакс: для некоторых данных он может привести к катастрофически плохим решениям, в то время как для других данных он дает совершенно интерпретируемые факторы с простой структурой. Еще один метод, похожий на equamax и еще более рискованный в поисках простой структуры, называется parsimax («максимизирующая экономия») (см. Mulaik, 2010, для обсуждения).

Я прошу прощения за то, что остановился сейчас и не рассмотрел наклонные методы - oblimin («наклонный» с «минимизацией» критерия) и promax (неограниченное вращение pro crtes после vari max ). Косые методы потребовали бы, вероятно, более длинных параграфов, чтобы описать их, но я не планировал никакого длинного ответа сегодня. Оба метода упомянуты в сноске 5 этого ответа . Я могу отослать вас к Mulaik, Основы факторного анализа (2010); классическая старая книга Хармана « Современный факторный анализ» (1976); и все, что появляется в Интернете, когда вы ищете.

См. Также разницу между вращениями варимакса и облимина в факторном анализе ; Что означает «варимакс» в факторном анализе SPSS?

Методы вращения оптимизируют эвристические функции с целью «упрощения» факторных нагрузок. Простота может быть определена многими различными способами. Наиболее часто используемые из них происходят от Thurnstone [2]: разреженность , простота столбца и экономия , простота строки (или сложность). Большинство критериев ротации относятся к одному или другому из обоих, их имена не очень важны.

В семейства критериев включены единичные критерии: наиболее полным является критерий Кроуфорда-Фергюсона, который эквивалентен семейству Ортомакс для ортогональных вращений. Эти семейства обеспечивают взвешивание обоих требований простоты, контролируемых различными параметрами. Изменяя их, можно получить почти все известные критерии вращения. Отличным и доступным обзором методов вращения является статья Брауна.

[1] М. Браун, Обзор аналитической ротации в исследовательском факторном анализе, Multivariate Behavioral Research 36 (2001), с. 111–150.

[2] Л. Терстоун, Многофакторный анализ, Университет Чикагской Прессы, 1947