Почему проекционная матрица ортогональной проекции симметрична?

Я новичок в этом, поэтому я надеюсь, что вы простите меня, если вопрос наивный. (Контекст: я изучаю эконометрику из книги Дэвидсона и Маккиннона "Эконометрическая теория и методы" , и они, кажется, не объясняют этого; я также посмотрел книгу по оптимизации Люенбергера, которая рассматривает проекции на более продвинутом уровне, но без удачи).

Предположим , что у меня есть ортогональную проекцию с ассоциирована проекционной матрицы . Мне интересно проецировать каждый вектор в в некоторое подпространство . P R n A ⊂ R$\mathbb P$$\bf P$$\mathbb{R}^n$$A \subset \mathbb{R}^n$

Вопрос : почему из этого следует, что , то есть симметрично? Какой учебник я мог бы посмотреть на этот результат?T$\bf{P}=P$$^T$$\bf P$

Это фундаментальный результат линейной алгебры на ортогональных проекциях. Относительно простой подход заключается в следующем. Если ортонормальные векторы , охватывающих м - мерное подпространство А , и U представляет собой N × р матрица с ¯u I «S в качестве столбцов, то P = U U T . Это непосредственно вытекает из того факта, что ортогональная проекция x на A может быть вычислена в терминах ортонормированного базиса A как $u_1, \ldots, u_m$$m$$A$$\mathbf{U}$$n \times p$$u_i$

$$\mathbf{P} = \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$$ $x$$A$$A$ Это непосредственно следует из формулы вышечтоP2=Pи чтоPT=P $$\sum_{i=1}^m u_i u_i^T x.$$ $\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}$$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}.$

Также можно привести другой аргумент. Если является проекционной матрицей для ортогональной проекции, то по определению для всех x , y ∈ R n P x ⊥ y - P y . Следовательно, 0 = ( P x ) T ( y - P y ) = x T P T ( I - P ) y = x T ( P T - $\mathbf{P}$$x,y \in \mathbb{R}^n$

$$\mathbf{P}x \perp y-\mathbf{P}y.$$
для всех x , y ∈ R n . Это показываетчто Р Т = Р Т Р , откуда Р = ( Р Т ) Т = ( Р Т Р ) Т = Р Т Р = Р Т $$0 = (\mathbf{P} x)^T (y - \mathbf{P}y) = x^T \mathbf{P}^T (I - \mathbf{P}) y = x^T (\mathbf{P}^T - \mathbf{P}^T \mathbf{P}) y$$ $x, y \in \mathbb{R}^n$$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$ $$\mathbf{P} = (\mathbf{P}^T)^T = (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{P}^T.$$

Попытка геометрической интуиции ... Напомним, что:

1. Симметричная матрица является самосопряженной.
2. Скалярное произведение определяется только компонентами во взаимном линейном пространстве (и не зависит от ортогональных компонент любого из векторов).

$x$$A$$y$$\langle x,Ay \rangle$$x$$y$$\langle Ax,Ay \rangle$$\langle Ax,y\rangle$

$A$