Расчет канонической функции связи в GLM

12

Я думал, что каноническая функция связи происходит от естественного параметра экспоненциального семейства. Скажем, рассмотрим семейство f ( y , θ , ψ ) = exp { y θ - b ( θ )g() тогдаθ=θ(µ)- каноническая функция связи. Возьмемв качестве примера распределение Бернулли:P(Y=y)=μy(1-μ)1-y=exp{ylogμ

f(y,θ,ψ)=exp{yθb(θ)a(ψ)c(y,ψ)}
θ=θ(μ) Итак, каноническая функция связиg(μ)=logμ
P(Y=y)=μy(1μ)1y=exp{ylogμ1μ+log(1μ)}
g(μ)=logμ1μ

Но когда я вижу этот слайд , он утверждает, что Хотя это может быть легко проверено для этого конкретного распределения (и некоторых других распределений, таких как распределение Пуассона), я не вижу эквивалентности для общего случая. Кто-нибудь может дать подсказки? Спасибо ~

g(μ)=1V(μ)
ziyuang
источник

Ответы:

14

V(μ)=μ(1μ)g(μ)=logμ1μ=logμlog(1μ)

g(μ)=1μ+11μ=1μ+μμ(1μ)=1μ(1μ)=1V(μ).

E(Y)=μ=b(θ) and Var(Y)=b(θ)a(ψ),
gθ=g(μ)=g(b(θ))b(θ)μ
V(μ)=b(g(μ)).
θ=g(b(θ))
1=g(b(θ))b(θ)=g(μ)V(μ),

VV(μ)1

NRH
источник
Спасибо @NRH. На самом деле я знаю эквивалентность для распределения Бернулли. Мне интересно общее дело. И спасибо за вашу ссылку, я проверю это :)
ziyuang
@ziyuang, общий случай теперь включен.
NRH
1
f(y,θ,ψ)dy=1θμ
Спасибо. И я нашел другую ссылку: fedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/ebooks/html/spm/…
ziyuang