Отказ от гипотезы с использованием p-значения, эквивалентного гипотезе, не относящейся к доверительному интервалу?

При формальном выводе доверительного интервала оценки я получил формулу, очень похожую на способ вычисления $p$ значения.

Таким образом, вопрос: формально они эквивалентны? Т.е. отвергает гипотезу $H_0 = 0$ с критическим значением $\alpha$ эквивалентным $0$ не принадлежащему доверительному интервалу с критическим значением$\alpha$ ?

Да и нет.

Сначала "да"

Вы заметили, что когда тест и доверительный интервал основаны на одной и той же статистике, между ними существует эквивалентность: мы можем интерпретировать значение как наименьшее значение α, для которого нулевое значение параметра будет быть включены в 1 - α доверительный интервал.$p$$\alpha$$1-\alpha$

Пусть - неизвестный параметр в пространстве параметров Θ ⊆ R , и пусть образец x = ( x 1 , … , x n ) ∈ X n ⊆ R n - реализация случайной величины X = ( X 1 , … , Х н ) . Для простоты определим доверительный интервал I α ( X ) как случайный интервал, так что его вероятность покрытия P $\theta$$\Theta\subseteq\mathbb{R}$$\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathcal{X}^ n\subseteq\mathbb{R}^n$$\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)$$I_\alpha(\mathbf{X})$ (Аналогичным образом можно рассмотреть более общие интервалы, где вероятность покрытия либо ограничена, либо приблизительно равна 1 -

$$P_\theta(\theta\in I_\alpha(\mathbf{X}))= 1-\alpha\qquad\mbox{for all }\alpha\in(0,1).$$ $1-\alpha$ . Рассуждения аналогичны.)

Рассмотрим двусторонний тест точечной нулевой гипотезы против альтернативной области отклонения H 1 представляет собой набор$H_0(\theta_0): \theta=\theta_0$ . Пусть λ ( θ 0 , x ) обозначает p-значение теста. Для любого альфа ∈ ( 0 , 1 ) , Н 0 ( θ 0 ) отклоняется на уровне & alpha ; если$H_1(\theta_0): \theta\neq \theta_0$$\lambda(\theta_0,\mathbf{x})$$\alpha\in(0,1)$$H_0(\theta_0)$$\alpha$ . Областьуровня α λ ( θ 0 , x ) ≤ α } $\lambda(\theta_0,x)\leq\alpha$$\alpha$ которое приводит к отклонению H 0 ( θ 0 ) : R α ( θ 0 ) = { x ∈ R n$\mathbf{x}$$H_0(\theta_0)$

$$R_\alpha(\theta_0)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n: \lambda(\theta_0,\mathbf{x})\leq\alpha\}.$$

Теперь рассмотрим семейство двусторонних тестов с p-значениями для θ ∈ Θ . Для такого семейства мы можем определить инвертированную область отклонения Q α ( x ) = { θ ∈ Θ : λ ( θ , x ) ≤ α } $\lambda(\theta,\mathbf{x})$$\theta\in\Theta$

$$Q_\alpha(\mathbf{x})=\{\theta\in\Theta: \lambda(\theta,\mathbf{x})\leq\alpha\}.$$

При любом фиксированном , Н 0 ( θ 0 ) отклоняется , если х ∈ R α ( θ 0 ) , что происходит тогда и только тогда , когда θ 0 ∈ Q α ( х ) , то есть х ∈ R α ( θ 0 ) ⇔ θ 0 ∈ Q α ( x ) . Если тест основан на тестовой статистике с полностью заданным абсолютно непрерывным нулевым распределением, то$\theta_0$$H_0(\theta_0)$$\mathbf{x}\in R_\alpha(\theta_0)$$\theta_0\in Q_\alpha(\mathbf{x})$

$$\mathbf{x}\in R_\alpha(\theta_0) \Leftrightarrow \theta_0\in Q_\alpha(\mathbf{x}).$$ при H 0 ( θ 0 ) . Тогда Р θ 0 ( ; & alpha ; ) = & alpha ; . Поскольку это уравнение верно для любого θ 0 ∈ $\lambda(\theta_0,\mathbf{X})\sim \mbox{U}(0,1)$$H_0(\theta_0)$ $$P_{\theta_0}(\mathbf{X}\in R_\alpha(\theta_0))=P_{\theta_0}(\lambda(\theta_0,\mathbf{X})\leq\alpha)=\alpha.$$ $\theta_0\in\Theta$и так как уравнение над ней следует , что отсюда следует , что случайный набор Q α ( х ) всегда покрывает истинный параметр θ 0 с вероятностью C α ( x ) обозначает дополнение к $$P_{\theta_0}(\mathbf{X}\in R_\alpha(\theta_0))=P_{\theta_0}(\theta_0\in Q_\alpha(\mathbf{X})),$$ $Q_\alpha(\mathbf{x})$$\theta_0$ . Следовательно, пусть$\alpha$$Q_\alpha^C(\mathbf{x})$ , для всех θ 0 ∈ Θ имеем P θ 0 ( θ 0 ∈ Q C α ( X ) ) = 1 - α , что означает, что дополнением к области перевернутого отклонения является 1 - α доверительный интервал для θ ,$Q_\alpha(\mathbf{x})$$\theta_0\in\Theta$ $$P_{\theta_0}(\theta_0\in Q_\alpha^C(\mathbf{X}))=1-\alpha,$$ $1-\alpha$$\theta$

$z$$\theta$$\bar{x}$$\sigma=1$$H_0(\theta)$$(\bar{x},\theta)$$R_{0.05}(-0.9)=(-\infty,-1.52)\cup(-0.281,\infty)$$I_{0.05}(1/2)=Q_{0.05}^C(1/2)=(-0.120,1.120)$

(Многое из этого взято из моей кандидатской диссертации .)

Теперь для «нет»

$\theta$$X$ . Обычно такие интервалы не соответствуют тесту.

Это явление связано с проблемами, связанными с тем, что такие интервалы не являются вложенными, а это означает, что интервал 94% может быть короче интервала 95%. Подробнее об этом см. Раздел 2.5 этой моей недавней статьи (появится в Бернулли).

И второе "нет"

$\theta_0=0$ может быть отклонен с помощью теста , даже если 0 входит в доверительный интервал. Это не противоречит приведенному выше «да», так как используются разные статистические данные.

И иногда "да" не очень хорошая вещь

Как указывает f Коппенс в комментарии, иногда интервалы и тесты имеют несколько противоречивые цели. Мы хотим короткие интервалы и тесты с высокой мощностью, но самый короткий интервал не всегда соответствует тесту с самой высокой мощностью. Некоторые примеры этого см. В этой статье (многомерное нормальное распределение), или в этом (экспоненциальное распределение), или в разделе 4 моей диссертации .

Байесовцы могут также сказать, да и нет

Несколько лет назад я разместил здесь вопрос о том, существует ли эквивалентность тестового интервала также в байесовской статистике. Короткий ответ: при стандартном тестировании байесовских гипотез ответом будет «нет». Немного переформулировав проблему тестирования, можно получить ответ «да». (Мои попытки ответить на мой собственный вопрос в конечном итоге превратились в бумагу !)

$\alpha$$\leq \alpha$