Я хотел бы смоделировать броуновский экскурсионный процесс (обусловленное броуновское движение всегда будет положительным при до при ). Поскольку броуновский экскурсионный процесс - это броуновский мост, который всегда должен быть положительным, я надеялся смоделировать движение броуновской экскурсии с использованием броуновского моста.
В R я использую пакет 'e1017' для имитации процесса броуновского моста. Как я могу использовать этот процесс броуновского моста для создания броуновской экскурсии?
Ответы:
Броуновская экскурсия может быть построена из моста, используя следующую конструкцию Vervaat: https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aop/1176995155
Быстрое приближение в R с использованием BB-кода @ whuber:
Во-вторых, мы рассмотрим «экскурсионную» обусловленность. Число неотрицательных простых путей длиной которые заканчиваются на является каталонским числом . Ровно из этих путей есть . Таким образом, вероятность того, что наша «экскурсия» в ТРО (при условии сохранения положительного результата и окончания в ) будет иметь значение 0 на шаге составляет .s 6=2∗3 0 Cm=3=(2mm)/(m+1)=5 2 s2=0 0 2 2/5=0.4<0.6
Если вы все еще сомневаетесь в том, что это явление сохраняется в пределе, вы можете рассмотреть вероятность того, что мосты ТРО и отклонения длиной достигнут 0 на шаге .4n 2n
Для экскурсии по ТРО: с использованием асимптотики из википедии https://en.wikipedia.org/wiki Каталонский номер . Т.е. это как конце концов.
Для abs (мост SRW): с использованием асимптотики из википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient . Это как .
Другими словами, асимптотическая вероятность увидеть мост SRW, обусловленный положительным значением в вблизи середины, намного меньше, чем для абсолютного значения моста.0
Вот альтернативная конструкция, основанная на трехмерном процессе Бесселя вместо броуновского моста. Я использую факты, описанные в https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ejp/1457125524
Обзор- 1) Имитация процесса Бесселя. Это как БМ, обусловленный быть позитивным. 2) Примените соответствующее пространственно-временное масштабирование, чтобы получить мост Бесселя 3 (уравнение (2) в статье). 3) Используйте тот факт (отмеченный сразу после теоремы 1 в статье), что мост Бесселя 3 фактически имеет то же распределение, что и броуновская экскурсия.
Небольшой недостаток заключается в том, что вам нужно довольно долго запускать процесс Бесселя (ниже T = 100) на относительно тонкой сетке, чтобы масштабирование пространства / времени началось в конце.
Вот вывод:
источник
Принцип отражения утверждает
Википедия , доступ к 26.09.2017.
Соответственно, мы можем смоделировать броуновский мост и отразить его относительно значения просто взяв его абсолютное значение. Броуновский мост моделируется путем вычитания тренда от начальной точки до конца от броуновского движения сам. (Без потери общности мы можем измерить время в единицах, которые составляют Таким образом, в момент времени просто вычтите из .)a=0 (0,0) (T,B(T)) B T=1 t B(T)t B(t)
Та же процедура может быть применена для отображения условия броуновского движения не только при возврате к указанному значению в момент времени (значение для моста), но также и при оставлении между двумя пределами (которые обязательно включают начальное значение от в момент времени и заданного конечного значения).T>0 0 0 0
Это броуновское движение начинается и заканчивается значением ноль: это броуновский мост.
Красный график - это броуновская экскурсия, разработанная на основе предыдущего броуновского моста: все его значения неотрицательны. Синий график был разработан таким же образом, отражая броуновский мост между пунктирными линиями каждый раз, когда он сталкивается с ними. Серый график отображает оригинальный броуновский мост.
Расчеты просты и быстры: разделите набор времен на небольшие интервалы, сгенерируйте независимые одинаково распределенные нормальные приращения для каждого интервала, накапливайте их, вычитайте тренд и выполняйте любые необходимые отражения.
Вот
R
код. В немW
есть исходное броуновское движение,B
броуновский мост иB2
отклонение, ограниченное двумя указанными значениямиymin
(неотрицательные) иymax
(неотрицательные). Его методика выполнения отражения с использованием%%
оператора модуля и компонентного минимумаpmin
может представлять практический интерес.источник
abs(B)
. Помните, что это броуновское движение, обусловленное двумя ограничениями: оно равноtarget
в момент времени и везде неотрицательно.Вы можете использовать метод отклонения: моделировать броуновские мосты и сохранять положительные. Оно работает.
Но. Это очень медленно, так как многие траектории выборки отбрасываются. И чем большую «частоту» вы устанавливаете, тем меньше вероятность того, что вы найдете траектории.
Вы также можете ускорить его, сохраняя отрицательные траектории.
источник