Дисперсия произведения зависимых переменных

Какова формула для дисперсии произведения зависимых переменных?

В случае независимых переменных формула проста:

$${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2} = {\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^2 + {\rm var}(Y)E(X)^2$$ Но какова формула для коррелированных переменных?

Кстати, как я могу найти корреляцию на основе статистических данных?

Ну, используя знакомую личность, которую вы указали,

$${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2}$$

Используя аналогичную формулу для ковариации,

$$E(X^{2}Y^{2}) = {\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + E(X^2)E(Y^2)$$

а также

$$E(XY)^{2} = [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$$

что подразумевает, что в общем случае можно записать как${\rm var}(XY)$

$${\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + [{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$$

Обратите внимание, что в случае независимости ${\rm cov}(X^2,Y^2) = {\rm cov}(X,Y) = 0$ и это сводится к

$$[{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ E(X)E(Y) ]^{2}$$

и два $[ E(X)E(Y) ]^{2}$ условия отменяются, и вы получите

$${\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^{2} + {\rm var}(Y)E(X)^{2}$$

как вы указали выше.

Изменить: Если все, что вы наблюдаете, это а не и отдельности, то я не думаю, что у вас есть способ оценить или за исключением особых случаев (например, если имеют средства, которые известны априори )$XY$$X$$Y$${\rm cov}(X,Y)$${\rm cov}(X^2,Y^2)$$X,Y$

Это дополнение к очень хорошему ответу @ Macro, в котором излагается именно то, что нужно знать, чтобы определить дисперсию произведения двух коррелированных случайных величин. Так как где , , , и

$$\begin{align} \operatorname{var}(XY) &= E\left[(XY)^2\right] - \left(E[XY]\right)^2 \tag{1}\\ &= E[(XY)^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\\ &= E[X^2Y^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{2}\\ &= \left(\operatorname{cov}(X^2,Y^2)+E[X^2]E[Y^2]\right) - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{3}\\ \end{align}$$ $\operatorname{cov}(X,Y)$$E[X]$$E[Y]$$E[X^2]$$E[Y^2]$ можно считать известными величинами, мы должны быть в состоянии определить значение в или в . В общем, это нелегко сделать, но, как уже указывалось, если и являются независимыми случайными величинами, то . На самом деле, ключевым фактором является зависимость, а не корреляция (или ее отсутствие). То, что мы знаем, что равно вместо некоторого ненулевого значения, само по себе не$E\left[X^2Y^2\right]$$(2)$$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$$(3)$$X$$Y$$\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}(X^2,Y^2) = 0$$\operatorname{cov}(X,Y)$$0$помощь в крайней мере , в наших усилиях определения стоимости или , даже если он действительно упрощать правые части и немного.$E\left[X^2Y^2\right]$$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$$(2)$$(3)$

Когда и являются зависимыми случайными величинами, то по меньшей мере в одном (довольно общем или довольно важном) особом случае, то это можно найти значение относительно легко.$X$$Y$$E\left[X^2Y^2\right]$

Предположим, что и - совместно нормальные случайные величины с коэффициентом корреляции . Затем, кондиционером на , то условная плотность является нормальной плотности со средним и дисперсия . Таким образом, $X$$Y$$\rho$$X = x$$Y$$E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(x-E[X]\right)$$\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2)$

$$\begin{align}E[X^2Y^2 \mid X] &= X^2E[Y^2 \mid X]\\ &= X^2\left[\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2) + \left(E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(X-E[X]\right)\right)^2\right] \end{align}$$ который является квартичной функцией , скажем, , и закон повторного ожидания говорит нам, что где правая часть может быть вычислена на основе знания 3-го и 4-го моментов - стандартных результатов, которые можно найти во многих текстах и ​​справочниках (то есть что мне лень их искать и включать в этот ответ).$X$$g(X)$ $$E[X^2Y^2] = E\left[E[X^2Y^2\mid X]\right] = E[g(X)]\tag{4}$$ $(4)$$X$

---

Дальнейшее добавление: в удаленном ответе @Hydrologist задает дисперсию как и утверждает, что эта формула это из двух работ, опубликованных полвека назад в JASA. Эта формула является неправильной транскрипцией результатов в статьях, цитируемых Гидрологом. В частности,$XY$

$$\mathrm{Var}\left[xy\right] = \left(\mathrm{E}\left[x\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[y\right] + \left(\mathrm{E}\left[y\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[x\right] + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right] + 2\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]\\ + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x,y\right] +\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right] - \left(\mathrm{Cov}\left[x,y\right]\right)^2 \tag{5}$$ $\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right]$является ошибочной в статье журнала, и аналогично для и .$E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]$$\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]$$\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right]$