Как работает Kriging Interpolation?

Я работаю над проблемой, в которой мне нужно использовать Кригинг, чтобы предсказать значение некоторых переменных на основе некоторых окружающих переменных. Я хочу реализовать его код самостоятельно. Итак, я просмотрел слишком много документов, чтобы понять, как это работает, но я был так растерян. Как правило, я понимаю, что это средневзвешенное значение, но я не мог полностью понять процесс вычисления веса, а затем предсказать значение переменной.

Может ли кто-нибудь объяснить мне в простых терминах математические аспекты этого метода интерполяции и как он работает?

Этот ответ состоит из вводного раздела, который я недавно написал для статьи, описывающей (скромное) пространственно-временное расширение «Универсального Кригинга» (Великобритания), которое само по себе является скромным обобщением «Обычного Кригинга». Он состоит из трех подразделов: теория дает статистическую модель и предположения; Оценка кратко рассматривает оценку параметра наименьших квадратов; и Прогнозирование показывает, как кригинг вписывается в структуру Обобщенных наименьших квадратов (GLS). Я приложил усилия, чтобы принять нотацию, знакомую статистикам, особенно посетителям этого сайта, и использовать концепции, которые хорошо объяснены здесь.

Подводя итог, можно сказать , что кригинг - это лучшее линейное непредвзятое прогнозирование (BLUP) случайного поля. Это означает, что прогнозируемое значение в любом месте выборки получается как линейная комбинация значений и ковариат, наблюдаемых в местах выборки. Там (неизвестное, случайное) значение имеет предполагаемую корреляцию со значениями выборки (и значения выборки соотносятся между собой). Эта корреляционная информация легко переводится в дисперсию прогноза. Каждый выбирает коэффициенты в линейной комбинации («веса Кригинга»), которые делают эту дисперсию настолько малой, насколько это возможно, при условии нулевого смещения в прогнозе. Подробности следуют.

---

теория

Великобритания включает в себя две процедуры - одну из оценки, а другую - прогнозирования, которые выполняются в контексте модели GLS для области исследования. В GLS модель предполагает , что выборка данных являются результатом случайных отклонений вокруг тренда , и что эти отклонения связаны между собой . Тренд подразумевается в общем смысле значения, которое может быть определено линейной комбинацией p неизвестных коэффициентов (параметров) β = ( β 1 , β 2 , … , $z_i,\ (i = 1, 2, ..., n)$$p$ . (В этом посте штрих ' обозначает транспонирование матрицы, а все векторы считаются векторами столбцов.)$\beta=(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_p)^\prime$$^\prime$

В любом месте в пределах области изучения имеется набор числовых атрибутов называемых «независимыми переменными» или «ковариатами». (Обычно y 1 = 1 является «постоянным членом», y 2 и y 3 могут быть пространственными координатами, а дополнительные y $\mathbf y = (y_1, y_2, \ldots, y_p)^\prime$$y_1 = 1$$y_2$$y_3$$y_i$может представлять пространственную информацию, а также другую вспомогательную информацию, которая доступна во всех местах в исследуемой области, например, пористость водоносного горизонта или расстояние до насосной скважины.) В каждом местоположении данных , в дополнение к его ковариатам y i = ( y i 1 , y i 2 , … , y i p ) ′ , ассоциированное наблюдение z i считается реализацией случайной величины Z i . В противоположность этому , у $i$$y_i = (y_{i1}, y_{i2}, \ldots, y_{ip})^\prime$$z_i$$Z_i$$y_i$считаются значениями, определяемыми или характеризующими точки или небольшие области, представленные наблюдениями (данные «поддерживают»). не считаются реализациями случайных величин и должны быть связаны со свойствами любого из Z I .$y_i$$Z_i$

Линейная комбинация выражает ожидаемое значение Z i в терминах параметров β , который представляет собой Значение тренда в месте я . Процесс оценки использует данные , чтобы найти значения р I , которые представляют собой неизвестные параметры р

$${\bf{E}}\left[ {Z_i } \right] = {\bf{y'}}_i {\bf{\beta }} = y_{i1} \beta _1 + y_{i2} \beta _2 + \cdots + y_{ip} \beta _p$$ $Z_i$$\beta$$i$$\hat\beta_i$$\beta_i$тогда как процесс прогнозирования использует данные в местоположениях чтобы вычислить значение в местоположении без выборки, которое здесь индексируется как i = 0 . Цели оценки являются фиксированными ( то есть неслучайными) параметрами, тогда как цель прогнозирования является случайной, поскольку значение z 0 включает в себя случайные колебания вокруг его тренда y ′ 0 β . Как правило, прогнозы делаются для нескольких местоположений, используя одни и те же данные, меняя местоположение $i = 1, 2, \ldots, n$$i = 0$$z_0$$y_0^\prime\beta$$0$, Например, часто делаются прогнозы для отображения поверхности вдоль регулярной сетки точек, подходящих для контурирования.

Предварительный расчет

Классический кригинг предполагает, что случайные флуктуации имеют ожидаемые значения нуля, и их ковариации известны. Запишите ковариацию между Z i и Z j как c i j . Используя эту ковариацию, оценка выполняется с использованием GLS. Ее решение заключается в следующем: β = Н г , Н = ( Y ' С - 1 У ) - 1 Y ' С - 1 , где г = ( г $Z_i$$Z_i$$Z_j$$c_{ij}$

$$\hat\beta=\bf{Hz},\ {\bf{H}} = \left( {{\bf{Y'C}}^{{\bf{ - 1}}} {\bf{Y}}} \right)^{{\bf{ - 1}}} {\bf{Y'C}}^{{\bf{ - 1}}}$$ - n -вектор наблюдений, Y = ( y i j ) («матрица проектирования») - этоматрица n by p , строки которой представляют собой векторы y ′ i , 1 ≤ i ≤ n , а C = ( c i j ) -ковариационная матрица n- by- n, которая предполагается обратимой (Draper & Smith (1981), раздел 2.11). ${\bf {z}} = (z_1, z_2, \ldots, z_n)$$n$${\bf Y} = (y_{ij})$$n$$p$$y_i^\prime, 1 \le i \le n$$\mathbf C = (c_{ij})$$n$$n$ от п матрицы H , которая проецирует данные г на параметр оценки р , называется «матрица шлема»Формулировка р как применение матрицы шлема к даннымявном виде показываеткак оценки параметров линейно зависят от данных. Ковариации C = ( c i j ) классически вычисляются с использованием вариограммы, которая дает ковариацию с точки зрения местоположения данных, хотя не имеет значения, как на самом деле рассчитывается ковариация.$p$$n$$\mathbf H$$\mathbf z$$\hat \beta$$\hat\beta$$\mathbf C = (c_{ij})$

прогнозирование

Великобритания аналогично предсказывает с помощью линейной комбинации данных г 0 = λ 1 г 1 + λ 2 г 2 + ⋯ + λ п г п = λ ' г . Λ я называю «Кригинг веса» для предсказания г 0 . Великобритания выполняет это предсказание z 0 , удовлетворяя двум критериям. Во-первых, прогноз должен быть непредвзятым, что выражается в требовании линейной комбинации случайных величин.$z_0$

$$\hat z_0 = \lambda _1 z_1 + \lambda _2 z_2 + \cdots + \lambda _n z_n = {\bf{\lambda 'z}}.$$ $\lambda_i$$z_0$$z_0$ равен Z 0 в среднем: 0 = E [ Z 0 - Z 0 ] = E [ λ ' Z - Z 0 ] . Это ожидание принято для совместного n + 1 -вариантного распределения Z 0 и Z = ( Z 1 , Z 2 , … , Z n$Z_i$$Z_0$ $$0 = {\bf{E}}\left[ {\hat Z_0 - Z_0 } \right] = {\bf{E}}\left[ {{\bf{\lambda 'Z}} - Z_0 } \right].$$ $n+1$$Z_0$$\mathbf Z = (Z_1, Z_2, \ldots, Z_n)$, Линейность ожидания вместе с предположением тренда (1) подразумевает: $$\eqalign{ 0 &= {\bf{E}}\left[ {{\bf{\lambda 'Z}} - Z_0 } \right] = {\bf{\lambda 'E}}\left[ {\bf{Z}} \right] - {\bf{E}}\left[ {Z_0 } \right] = {\bf{\lambda '}}\left( {{\bf{Y\beta }}} \right) - {\bf{y'}}_0 {\bf{\beta }} = \left( {{\bf{\lambda 'Y}} - {\bf{y'}}_0 } \right){\bf{\beta }}\\ &= {\bf{\beta '}}\left( {{\bf{Y'\lambda }} - {\bf{y}}_0 } \right) }$$

$\beta$

$$\hat{\mathbf Y}^\prime \lambda = \mathbf{y}_0.$$

$\lambda$$\hat Z_0 - Z_0$

$${\rm{Var}}\left( {\hat Z_0 - Z_0 } \right) = {\bf{E}}\left[ {\left( {\hat Z_0 - Z_0 } \right)^2 } \right] = {\bf{E}}\left[ {\left( {{\bf{\lambda 'Z}} - Z_0 } \right)^2 } \right] = c_{00} - 2{\bf{\lambda 'c}}_0 + {\bf{\lambda 'C\lambda }}$$ $\mathbf c_0 = (c_{01}, c_{02}, \ldots, c_{0n})^\prime$$Z_0$$Z_i,\ i \ge 1$$c_{00}$$Z_0$

$\lambda$$p$$\mu$$\hat{\mathbf Y}^\prime \lambda = \mathbf{y}_0$$n+p$

$$\left( {\begin{array}{*{20}c} {\bf{C}} & {\bf{Y}} \\ {{\bf{Y'}}} & {\bf{0}} \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {\bf{\lambda }} \\ {\bf{\mu }} \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {{\bf{c}}_{\bf{0}} } \\ {{\bf{y}}_{\bf{0}} } \\ \end{array}} \right)$$ $\mathbf 0$$p$$p$$\mathbf 1$$n$$n$$\lambda$ $${\bf{\lambda }} = {\bf{H'y}}_0 + {\bf{C}}^{ - 1} \left( {{\bf{1}} - {\bf{YH}}} \right){\bf{c}}_0.$$

(Читатели, знакомые с множественной регрессией, могут посчитать полезным сравнить это решение с ковариационным решением обыкновенных уравнений наименьших квадратов , который выглядит практически точно так же, но без множителей Лагранжа.)

$\lambda$$[\mathbf H^\prime\, \mathbf y_0]$$Z_0$$\hat z_0$