Если вы счастливы предположить, что каждый счет соответствует распределению Пуассона (со своим собственным средним значением при альтернативной гипотезе; с общим средним значением при нулевом значении), то нет проблем - просто вы не можете проверить это предположение без повторов. Чрезмерная дисперсия может быть довольно распространенной для данных подсчета.
Точный тест с учетом подсчетов и x 2 является простым, поскольку общая сумма отсчетов n = x 1 + x 2 является вспомогательной; кондиционирование на нем дает X 1 ∼ B i n ( 1x1x2n=x1+x2как распределение вашей тестовой статистики под нулевым значением. †Это интуитивный результат: общий подсчет, отражающий, возможно, сколько времени вы потратили на наблюдение двух пуассоновских процессов, не несет информации об их относительных скоростях, но влияет на мощность вашего теста; и поэтому другие общие показатели, которые вы могли бы получить, не имеют значения.X1∼Bin(12,n)
См. Проверка гипотез на основе вероятности для теста Вальда (приближение).
† Каждый отсчет имеет распределение Пуассона со средним λ i f X ( x i ) = λ x i i e - λ ixiλi
репараметризовать как
θ
еИкс( хя) = λИксяяе- λяИкся!я = 1 , 2
где
θ- то, что вас интересует, &
ϕ- параметр неприятности. Затем объединенная функция массы может быть переписана:
f X 1 , X 2 ( x 1 , x 2 )θφ= λ1λ1+ λ2= λ1+ λ2
θφ
Общее число
пявляется вспомогательным для
thetas, имеющее распределение Пуассона со средним
ффN(п)еИкс1, X2( х1, х2)еИкс1, N( х1, н )= λИкс11λИкс22е- ( λ1+ λ2)Икс1! Икс2!= θИкс1( 1 - θ )н - х1⋅ ϕNе- ϕИкс1! ( п - х1) !
Nθφ
в то время как условное распределение
X1дано
пявляется биномиальным с вероятностью Бернулли
thetas& нет. испытания
nfX1| n(x1;n)еN( н )= ∑Икс1= 0∞еИкс1, N( х1, н )= ϕNе- ϕн !ΣИкс1= 0∞н !Икс1! ( п - х1) !θИкс1( 1 - θ )н - х1= ϕNе- ϕн !
Икс1NθN
еИкс1| N( х1; н )= фИкс1, N( х1, н )еN( н )= θИкс1( 1 - θ )н - х1⋅ ϕNе- ϕИкс1! ( п - х1) !⋅ н !φNе- ϕ= п !Икс1! ( п - х1) !θИкс1( 1 - θ )н - х1