Следует ли смоделировать разницу между контролем и лечением явно или неявно?

Учитывая следующую экспериментальную установку:

Многократные образцы взяты от предмета, и каждый образец обработан многократными способами (включая контрольную обработку). Что в основном интересно, так это разница между контролем и каждым лечением.

Я могу думать о двух простых моделях для этих данных. Для образца , обработка , обработка 0 - контроль, пусть - данные, - базовая линия для образца , - разница для обработки . Первая модель смотрит как на контроль, так и на разницу: $i$ $j$ $Y_{ij}$ $\gamma_i$ $i$ $\delta_j$ $j$

Y_{я J} знак равно γ_{я} + δ_{J} + ε_{я J}

$Y_{ij}=\gamma_i+\delta_j+\epsilon_{ij}$

δ_{0} знак равно 0

$\delta_0=0$

Пока вторая модель смотрит только на разницу. Если мы предвычислять заранее , то $d_{ij}$

d_{я J} знак равно Y_{я J} - Y_{я 0}

$d_{ij}=Y_{ij}-Y_{i0}$

d_{я J} знак равно δ_{J} + ε_{я J}

$d_{ij}=\delta_j+\varepsilon_{ij}$

Мой вопрос: в чем принципиальные различия между этими двумя настройками? В частности, если уровни сами по себе бессмысленны и имеет значение только различие, делает ли первая модель слишком много и, возможно, недостаточно сильна?

regression anova linear-model ancova Ронан Дейли
источник

Я могу дать более подробный ответ позже, но я бы предложил, чтобы эта статья Пола Эллисона была бы интересна ( Allison, 1990 ).

Энди W

Отредактировано, чтобы отразить тот факт, что ошибки в разных моделях на самом деле не одинаковы, и, следовательно, не должны использовать одни и те же символы.

Ронан Дейли

Ответы:

$\epsilon_{ij}$

Во-первых, эти термины представляют ошибку измерения и отклонения от аддитивной модели. С разумной осторожностью - например, путем рандомизации последовательности измерений - эти ошибки можно сделать независимыми, когда модель точна. Откуда

d_{я J} знак равно Y_{я J} - Y_{я 0} знак равно γ_{я} + δ_{J} + ε_{я J} - (γ_{я} + δ_{0} + ε_{я 0}) знак равно δ_{J} + (ε_{я J} - ε_{я 0}),

$d_{ij} = Y_{ij} - Y_{i0} = \gamma_i + \delta_j + \epsilon_{ij} - (\gamma_i + \delta_0 + \epsilon_{i0}) = \delta_j + (\epsilon_{ij} - \epsilon_{i0}).$

$\epsilon_{i0}=0$ $\gamma_i$

$j, k \ne 0$ $j \ne k$

С о v (d_{я J}, d_{я К}) знак равно С о v (ε_{я J} - ε_{я 0}, ε_{я К} - ε_{я 0}) знак равно В a р (ε_{я 0}) \neq 0.

$Cov(d_{ij}, d_{ik}) = Cov(\epsilon_{ij} - \epsilon_{i0}, \epsilon_{ik} - \epsilon_{i0}) = Var(\epsilon_{i0}) \ne 0.$

Корреляция может быть существенной. Для ошибок iid аналогичный расчет показывает, что он равен 0.5. Если вы не используете процедуры, которые явно и правильно обрабатывают эту корреляцию, предпочтите первую модель второй.

Whuber
источник

Итак, вы предположили, что первая модель является истинной моделью, и получили нежелательное свойство второй модели. Мы знаем, что все модели ошибочны, так значит ли этот результат действительно значимым?

Макро

@Macro Пожалуйста, прочитайте мой ответ более внимательно: он составлен таким образом, чтобы показать, какие предположения необходимы для обоснования первой модели и отличить ее от второй, но не содержит предположений о том, что любая модель является «верной». Например, обратите внимание на предостережение «когда модель точна». Даже слово «точный» было выбрано с некоторой мыслью, чтобы избежать ошибочного представления о том, что существует «истинная» или «правильная» модель.

whuber

d_{i k}

$d_{ik}$

j

$j$

k

$k$

j, k \neq 0

$j,k \ne 0$

@whuber Существуют ли ссылки, подтверждающие ваше утверждение, например, чтобы убедить рецензентов?

Даниэль