Медиана является «метрическим» или «топологическим» свойством?

Я прошу прощения за небольшое злоупотребление терминологией; Надеюсь, станет понятно, что я имею в виду ниже.

Рассмотрим случайную величину . Как среднее значение, так и медиана могут быть охарактеризованы критерием оптимальности: среднее значение - это число которое минимизирует , а медиана - это число, которое минимизирует . С этой точки зрения, разница между средним и медианным является выбором «метрики» для оценки отклонений, квадрата или абсолютного значения.$X$$\mu$$\mathrm E((X - \mu)^2)$$\mathrm E(|X - \mu|)$

С другой стороны, медиана - это число, для которого (при условии абсолютной непрерывности), т.е. это определение зависит только от способности упорядочивать значения и не зависит от насколько они отличаются. Следствием этого является то, что для каждой строго возрастающей функции , , то есть она является «топологической» в смысле инвариантность относительно «резиноподобных» преобразований.$\mathrm{Pr}(X \leq \mu) = \frac12$$X$$f(x)$$\mathrm{median}(f(X)) = f(\mathrm{median}(X))$

Теперь я сделал математику и знаю, что, исходя из критерия оптимальности, я могу прийти к -квартиле, поэтому оба описывают одно и то же. Но все же я запутался, потому что моя интуиция подсказывает мне, что то, что зависит от «метрики», не может привести к «топологическому» свойству.$\frac12$

Может кто-нибудь разгадать эту загадку для меня?

Недостаток в ваших рассуждениях состоит в том, что то, что зависит от метрики, не может быть топологическим свойством.

Взять компактность метрических пространств. Это можно определить в терминах метрики: компактность означает, что пространство полно (зависит от метрики) и полностью ограничено (зависит от метрики). Оказывается, однако, что это свойство является инвариантом при гомеоморфизме и действительно может быть определено в терминах только топологии (конечных подпокрытий любого покрытия обычным способом).

Другой пример - различные теории гомологии. Только единичные гомологии действительно топологичны в своем определении. Все остальные, симплициальные, клеточные, де Рама (когомологии, но дают мне немного раскованности) и т. Д., Зависят от дополнительной структуры, но оказываются эквивалентными (и с ними немного легче работать).

Это часто встречается в математике, иногда самый простой способ определить что-то - это с точки зрения некоторой вспомогательной структуры, а затем демонстрируется, что получающаяся сущность, на самом деле, вообще не зависит от выбора вспомогательной структуры.