Понимание дробно-разностной формулы

У меня есть временной ряд и я хотел бы смоделировать его как процесс ARFIMA (он же FARIMA). Если y t интегрируется с (дробным) порядком d , я хотел бы дробно-разностным образом сделать его стационарным.$y_t$$y_t$$d$

Вопрос : правильна ли следующая формула, определяющая дробное дифференцирование?

$\Delta^d y_t := y_t - d y_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} y_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} y_{t-3} + ... +(-1)^{k+1} \frac{d(d-1) \cdot ... \cdot (d-k)}{k!} y_{t-k} + ...$

(Здесь обозначает дробное дифференцирование порядка d .)$\Delta^d$$d$

Я основываю формулу на этой статье в Википедии на ARFIMA , глава ARFIMA ( ), но я не уверен, правильно ли я понял.$0,d,0$

Да, это кажется правильным. Дробный фильтр определяется биномиальным расширением:

$\Delta^{d}=\left(1-L\right)^{d}=1-dL+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}+\cdots$

$L$$0<d<1$

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=\varepsilon_{t}$

Расширяясь, мы получаем:

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=X_{t}-dLX_{t}+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}X_{t}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}X_{t}+\cdots=\varepsilon_{t}$

который можно записать как:

$X_{t}=dX_{t-1}-\frac{d\left(d-1\right)}{2!}X_{t-2}+\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}X_{t-3}-\cdots+\varepsilon_{t}$

См. Динамика цен активов, волатильность и прогноз Стивена Дж. Тейлора (стр. 243 в издании 2007 г.) или Временные ряды: теория и методы Броквелла и Дэвиса для дальнейших ссылок.