Проверка гипотезы Пуассона для двух параметров

Итак, ради интереса, я беру некоторые данные о вызовах из колл-центра, в котором я работаю, и пытаюсь проверить их на гипотезы, в частности, количество звонков, полученных за неделю, и использую распределение Пуассона, чтобы соответствовать ему. Из-за предмета моей работы, есть два типа недель, давайте назовем одну из них неделями, когда я предполагаю, что есть больше звонков, и неделями, когда я предполагаю, что есть меньше.

У меня есть теория, что из недели (назовем это ) больше, чем (давайте назовем это )λ 1 λ $\lambda$$\lambda_1$$\lambda_2$

Таким образом, гипотеза, которую я хочу проверить:$H_0: \lambda_1 > \lambda_2, H_1: \lambda_1 \leq \lambda_2$

Я знаю, как проверить один параметр (скажем, ), но не совсем уверен, как поступить 2 с данным набором данных. Допустим, я беру по две недели данных от каждого из и для выходного дня, а и для дня. Может ли кто-нибудь помочь мне пройти через эту более простую версию, чтобы я мог применить ее к большему набору данных? Любая помощь приветствуется, спасибо.X 1 = 2 X 2 = 3 Y 1 = 2 Y 2 = $H_0: \lambda_1 > 1, H_1: \lambda_1 \leq 1$$X_1 = 2$$X_2 = 3$$Y_1 = 2$$Y_2=6$

Обратите внимание, что обычно равенство обнуляется (по уважительной причине).

Помимо этой проблемы, я упомяну пару подходов к проверке такого рода гипотез

1. Очень простой тест: условие на общее наблюдаемое число , которое преобразует его в биномиальный критерий пропорций. Представьте, что есть -неделя и -день недели и недели вместе взятые.ш о ш от$n$$w_\text{on}$$w_\text{off}$$w$

Тогда при нулевом значении ожидаемые пропорции: и соответственно. Вы можете сделать односторонний тест пропорции в неделях довольно легко. w$\frac{w_\text{on}}{w}$$\frac{w_\text{off}}{w}$

2. Вы можете построить односторонний тест, адаптировав статистику, относящуюся к тесту отношения правдоподобия; z-форму теста Вальда или тестов с оценками можно сделать, например, односторонними, и они должны хорошо работать для largish .$\lambda$

Есть и другие варианты.

Как насчет того, чтобы использовать GLM со структурой ошибок Пуассона и log-link ??? Но идея о биноме может быть более мощной.

Я бы согласился с пуассоновским или квазипуассоновским GLM с предпочтением квазипуассоновского или отрицательного бинома.

Проблема с использованием традиционного Пуассона состоит в том, что требуется, чтобы дисперсия и среднее значение были равны, что, скорее всего, не так. Квази-Пуассон или NB оценивает дисперсию, неограниченную средним.

Вы можете сделать любой из них в R очень легко.

# week on = 1, week off = 0
week.status <- c(1, 1, 0, 0)
calls <- c(2, 6, 2, 3)
model <- glm(calls ~ week.status, family = poisson())
# or change the poisson() after family to quasipoisson() 
# or use the neg binomial glm from the MASS package

Подход GLM полезен, и, поскольку вы можете расширить его, включив в него дополнительные переменные (например, месяц года), которые могут повлиять на объем вызовов.

Чтобы сделать это вручную, я бы, вероятно, использовал нормальное приближение и t-критерий из двух выборок.

Начнем с оценки максимального правдоподобия для параметра Пуассона, который является средним значением.

Итак,$\hat\lambda_1=\bar Y~~and~~\hat\lambda_2=\bar X$

Теперь вы можете просто протестировать$\bar Y-\bar X\sim N(\lambda_1-\lambda_2,\frac{\lambda_1}{n_1}+\frac{\lambda_2}{n_2})$

а затем сравните, получив Z-значение =$\frac{(\bar Y-\bar X)-\lambda_1-\lambda_2}{\sqrt{\frac{\lambda_1}{n_1}+\frac{\lambda_2}{n_2}}}$

Примечание: критерий отклонения -$Z<Critical~Value$

Начиная со страницы 125 тестовой статистической гипотезы Казеллы, намечается ответ на вопрос, который вы сформулировали. Я приложил ссылку на PDF-файл, который я нашел в Интернете для вашей справки. Каселла, проверяющая статистическую гипотезу, третье издание .