Как проверить гипотезу, что корреляция равна заданному значению, используя R?

Есть ли функция для проверки гипотезы, что корреляция двух векторов равна заданному числу, скажем, 0,75? Используя cor.test, я могу проверить cor = 0 и посмотреть, находится ли 0,75 внутри доверительного интервала. Но есть ли функция для вычисления значения p для cor = 0,75?

x <- rnorm(10)
y <- x+rnorm(10)
cor.test(x, y)

Используя дисперсию, стабилизирующую атановое преобразование Фишера , вы можете получить значение p как

pnorm( 0.5 * log( (1+r)/(1-r) ), mean = 0.5 * log( (1+0.75)/(1-0.75) ), sd = 1/sqrt(n-3) )

или любую интересующую вас версию одностороннего / двустороннего p-значения. Очевидно, что для этого вам понадобятся размер nвыборки и коэффициент корреляции выборки r.

Распределение r_hat вокруг rho задается этой R-функцией, адаптированной из кода Matlab на веб-странице Xu Cui . Не так сложно превратить это в оценку вероятности того, что наблюдаемое значение «r» маловероятно, учитывая размер выборки «n» и гипотетическое истинное значение «ro».

corrdist <- function (r, ro, n) {
        y = (n-2) * gamma(n-1) * (1-ro^2)^((n-1)/2) * (1-r^2)^((n-4)/2)
        y = y/ (sqrt(2*pi) * gamma(n-1/2) * (1-ro*r)^(n-3/2))
        y = y* (1+ 1/4*(ro*r+1)/(2*n-1) + 9/16*(ro*r+1)^2 / (2*n-1)/(2*n+1)) }

Затем с помощью этой функции вы можете построить распределение нулевого rho 0,75, рассчитать вероятность того, что r_hat будет меньше 0,6, и затенить в этой области на графике:

 plot(seq(-1,1,.01), corrdist( seq(-1,1,.01), 0.75, 10) ,type="l")
 integrate(corrdist, lower=-1, upper=0.6, ro=0.75, n=10)
# 0.1819533 with absolute error < 2e-09
 polygon(x=c(seq(-1,0.6, length=100), 0.6, 0), 
         y=c(sapply(seq(-1,0.6, length=100), 
         corrdist, ro=0.75, n=10), 0,0), col="grey")

Другим подходом, который может быть менее точным, чем преобразование Фишера, но я думаю, что он может быть более интуитивным (и может дать идеи о практической значимости в дополнение к статистической значимости), является визуальный тест:

 Buja, A., Cook, D. Hofmann, H., Lawrence, M. Lee, E.-K., Swayne,
 D.F and Wickham, H. (2009) Statistical Inference for exploratory
 data analysis and model diagnostics Phil. Trans. R. Soc. A 2009
 367, 4361-4383 doi: 10.1098/rsta.2009.0120

Существует реализация этого в vis.testфункции в TeachingDemosпакете для R. Один из возможных способов запустить его для вашего примера:

vt.scattercor <- function(x,y,r,...,orig=TRUE)
{
    require('MASS')
    par(mar=c(2.5,2.5,1,1)+0.1)
    if(orig) {
        plot(x,y, xlab="", ylab="", ...)
    } else {
        mu <- c(mean(x), mean(y))
        var <- var( cbind(x,y) )
        var[ rbind( 1:2, 2:1 ) ] <- r * sqrt(var[1,1]*var[2,2])
        tmp <- mvrnorm( length(x), mu, var )
        plot( tmp[,1], tmp[,2], xlab="", ylab="", ...)
    }
}

test1 <- mvrnorm(100, c(0,0), rbind( c(1,.75), c(.75,1) ) )
test2 <- mvrnorm(100, c(0,0), rbind( c(1,.5), c(.5,1) ) )

vis.test( test1[,1], test1[,2], r=0.75, FUN=vt.scattercor )
vis.test( test2[,1], test2[,2], r=0.75, FUN=vt.scattercor )

Конечно, если ваши реальные данные не нормальны или отношения не линейны, то это будет легко подобрать с помощью приведенного выше кода. Если вы хотите провести одновременное тестирование для них, то вышеприведенный код сделает это, или приведенный выше код может быть адаптирован для лучшего представления характера данных.