Скажем, у меня есть две стандартные нормальные случайные величины и , которые совместно нормальны с коэффициентом корреляции .
Какова функция распределения ?
Скажем, у меня есть две стандартные нормальные случайные величины и , которые совместно нормальны с коэффициентом корреляции .
Какова функция распределения ?
Ответы:
Согласно Nadarajah and Kotz, 2008 , Точное распределение макс / мин двух гауссовских случайных величин , PDF выглядит так:X=max(X1,X2)
где - PDF, а Φ - CDF стандартного нормального распределения.ϕ Φ
источник
Пусть - двумерный нормальный PDF для ( X , Y ) со стандартными маргиналами и корреляцией ρ . CDF максимума по определениюfρ (X,Y) ρ
Двусторонний нормальный PDF симметричен (через отражение) вокруг диагонали. Таким образом, увеличение до z + d z добавляет две полосы эквивалентной вероятности к исходному полубесконечному квадрату: верхняя бесконечно малая имеет вид ( - ∞ , z ] × ( z , z + d z ], в то время как ее отраженный аналог, правая полоса, это ( z , z + d z ] × ( - ∞ , z ] .z z+dz (−∞,z]×(z,z+dz] (z,z+dz]×(−∞,z]
Плотность вероятности правой полосы равна плотности в z раз общей условной вероятности того, что Y находится в полосе, Pr ( Y ≤ zX z Y . Условное распределение Y всегда Нормальное, поэтому, чтобы найти эту общую условную вероятность, нам нужны только среднее значение и дисперсия. Условное среднее Y в X - это предсказание регрессии ρ X, а условная дисперсия - это «необъяснимая» дисперсия var ( Y ) - var ( ρ X ) = 1 - ρ 2 .Pr(Y≤z|X=z) Y Y X ρX var(Y)−var(ρX)=1−ρ2
Теперь, когда мы знаем условное среднее и дисперсию, условный CDF для данным X может быть получен путем стандартизации Y и применения стандартного нормального CDF Φ :Y X Y Φ
Оценка этого при и X = z и умножение на плотность X в z (стандартное нормальное pdf ϕ ) дает плотность вероятности второй (правой) полосыy=z X=z X z ϕ
Удвоение этого объясняет равновероятную верхнюю полосу, давая PDF максимума как
Recapitulation
I have colored the factors to signify their origins:2 for the two symmetrical strips; ϕ(z) for the infinitesimal strip widths; and Φ(⋯) for the strip lengths. The argument of the latter, 1−ρ1−ρ2√z , is just a standardized version of Y=z conditional on X=z .
источник