Интуиция для высших моментов в круговой статистике

В круговой статистике, среднее значение случайной величины со значениями на окружности S определяются как м 1 ( Z ) = ∫ S г Р Z ( θ ) d θ (см википедия ). Это очень естественное определение, как и определение дисперсии V a r ( Z ) = 1 - | m 1 ( Z ) | , Таким образом, нам не понадобился второй момент, чтобы определить дисперсию!$Z$$S$

Тем не менее, мы определим высшие моменты Я допускаю, что на первый взгляд это выглядит довольно естественно и очень похоже на определение в линейной статистике. Но все же я чувствую себя немного неловко и имею следующее

Вопросов:

1. Что измеряется высшими моментами определенными выше (интуитивно)? Какие свойства распределения можно охарактеризовать их моментами?

2. При вычислении высших моментов мы используем умножение комплексных чисел, хотя мы думаем о значениях наших случайных величин просто как векторы на плоскости или как углы. Я знаю, что в данном случае сложное умножение по сути является сложением углов, но все же: почему сложное умножение является значимой операцией для циклических данных?

Моменты - это коэффициенты Фурье вероятностной меры $P^Z$, Предположим (ради интуиции), что$Z$имеет плотность. Тогда аргумент (угол от$1$ в комплексной плоскости) $Z$ имеет плотность на $[0,2\pi)$и моменты являются коэффициентами, когда эта плотность разлагается в ряд Фурье. Таким образом, применяется обычная интуиция о рядах Фурье - они измеряют силы частот в этой плотности.

Что касается вашего второго вопроса, я думаю, что вы уже дали ответ: «в данном случае сложное умножение - это, по сути, сложение углов».