Вычислить квантиль суммы распределений из определенных квантилей

Давайте предположим , что $N$ независимых случайных величин $X_1, ..., X_N$ для которых квантили на некотором конкретном уровне $\alpha$ известны посредством оценки по данным: $\alpha = P(X_1 < q_1)$ , ..., $\alpha = P(X_N < q_N)$ . Теперь давайте определим случайную величину $Z$ как сумму $Z = \sum_{i=1}^N X_i$, Есть ли способ вычислить значение квантиля суммы на уровне $\alpha$ , то есть $q_z$ в $\alpha = P(Z < q_Z)$ ?

Я думаю, что в отдельных случаях, например, если $X_i$ следует гауссову распределению $\forall i$ это легко, но я не уверен в случае, когда распределение $X_i$ неизвестно. Любые идеи?

может быть чем угодно.$q_Z$

---

Чтобы разобраться в этой ситуации, сделаем предварительное упрощение. Работая с мы получаем более равномерную характеристику$Y_i = X_i - q_i$

$$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$$

То есть каждый имеет одинаковую вероятность быть отрицательным. Потому что$Y_i$

$$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$$

определяющее уравнение для эквивалентно$q_Z$

$$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$$

с .$q_Z = q_W + \sum_i q_i$

---

Каковы возможные значения ? Рассмотрим случай, когда все имеют одинаковое распределение со всей вероятностью по двум значениям, одно из которых отрицательное ( ), а другое положительное ( ). Возможные значения суммы ограничены для . Каждый из них происходит с вероятностьюY i y - y + W k y - + ( n - k ) y + k = 0 , 1 , … , $q_W$$Y_i$$y_{-}$$y_{+}$$W$$ky_{-} + (n-k)y_{+}$$k=0, 1, \ldots, n$

$${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$$

Крайности могут быть найдены

1. Выбор и так, чтобы ; и выполнят это. Это гарантирует, что будет отрицательным, кроме случаев, когда все положительны. Этот шанс равен . Он превышает когда , подразумевая, что квантиль должен быть строго отрицательным.$y_{-}$$y_{+}$$y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$$y_{-}=-n$$y_{+}=1$$W$$Y_i$$1 - (1-\alpha)^n$$\alpha$$n\gt 1$$\alpha$$W$

2. Выбор и так, чтобы ; и выполнят это. Это гарантирует, что будет отрицательным только тогда, когда все отрицательны. Этот шанс равен . Это меньше, чем когда , подразумевая, что квантиль должен быть строго положительным.$y_{-}$$y_{+}$$(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$$y_{-}=-1$$y_{+}=n$$W$$Y_i$$\alpha^n$$\alpha$$n\gt 1$$\alpha$$W$

Это показывает, что квантиль может быть либо отрицательным, либо положительным, но не равен нулю. Каким может быть его размер? Оно должно равняться некоторой интегральной линейной комбинации и . Делая оба эти значения целыми, мы гарантируем, что все возможные значения являются целыми. Масштабируя произвольным положительным числом , мы можем гарантировать, что все интегральные линейные комбинации и являются целыми кратными . Поскольку , его размер должен быть не менее . Следовательно,$\alpha$$W$$y_{-}$$y_{+}$$W$$y_{\pm}$$s$$y_{-}$$y_{+}$$s$$q_W \ne 0$$s$возможные значения (и, ) не ограничены,$q_W$$q_Z$ независимо от того, что может быть равно.$n\gt 1$

---

Только способ получить какую - либо информацию о бы сделать конкретные и сильные ограничения на распределениях , в целях предотвращения и ограничения рода несимметричных распределений , используемых для получения этого отрицательного результата.$q_Z$$X_i$