Достаточность или недостаточность

10

Рассмотрим случайную выборку где - случайные переменные где . Проверьте, является ли достаточной статистикой для .{X1,X2,X3}XiBernoulli(p)p(0,1)T(X)=X1+2X2+X3p

Во-первых, как мы можем найти распределение для ? Или это должно быть разбито на и будет ли это следовать за ? Я думаю, что нет, потому что обратите внимание, что все переменные здесь не являются независимыми.(X1+2X2+X3)X1+X2+X2+X3Bin(4,p)

С другой стороны, если я использую условие факторизации, просто рассматривая объединенный pmf из то где .(X1,X2,X3)f(X1,X2,X3)=px1+x2+x3(1p)3(x1+x2+x3)=[pt(x)(1p)3t(x)]px2(1p)x2t(x)=x1+2x2+x3

Это показывает, что недостаточно.T

Но что, если я хочу следовать определению и применить чтобы проверить, не зависит ли это отношение от ? Тогда мне нужно знать распределение . Что же тогда является распределением ?f(X|p)g(T(X)|p)pgT(X)=X1+2X2+X3

Лэндон Картер
источник
1
Подсказка: вам не нужно знать полное распределение . Рассмотрим, например, случай : каково условное распределение вероятностей ? T(X)T(X)=2(X|T(X)=2)
whuber
Если то . Итак, который зависит от , верно? T(X)=2(X1,X2,X3){(1,0,1),(0,1,0)}P(X|T(X)=2)=p2(1p)+p(1p)2=p(1p)p
Лэндон Картер
1
Это правильная идея - но я не понимаю, почему вы добавляете две вероятности. Не в вектор ? (Если хотите, вы можете использовать тот же тип вычислений, чтобы найти полное распределение (оно может достигать только значений ), но это больше не нужно, не так ли? ))XT(X)0,1,2,3,4
whuber
Да правильно. Спасибо! Так что, как только мы покажем, что это отношение не зависит от хотя бы для одной выборки, тогда все готово! Спасибо. И С НОВЫМ ГОДОМ :)p
Лэндон Картер
Да, является вектором, но что более важно, и вероятность . Пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь. XX=(X1,X2,X3)P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))
Лэндон Картер

Ответы:

11

У меня было обсуждение с "whuber", и, возможно, я получил (правильный?) Подсказку, чтобы посмотреть на любую точку выборки: оценивать в этой точке выборки и проверьте, не зависит ли это отношение от параметра, в данном случае .P(X=x)P(T(X)=T(x))xp

Итак, возьмите затем . Поэтому мы оцениваем ТеперьБлагодаря свойству ,Такжеx=(1,0,1)T(1,0,1)=2P(X=(1,0,1))P(T(X)=2)

T(X)=2 iff X{(1,0,1),(0,1,0)}.
P(X=(1,0,1))=p2(1p) and P(X=(0,1,0))=p(1p)2.
P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1p).

Следовательно, который явно зависит от , и, следовательно, не является достаточной статистикой.pT

P(X=(1,0,1))P(T(X)=2)=p2(1p)p(1p)=p
pT
Лэндон Картер
источник