Да и нет.
да
Я помню, что Андре Журнэл давно подчеркнул
Допущения стационарности - это решения, принимаемые аналитиком относительно того, какую модель использовать. Они не являются неотъемлемыми свойствами этого явления.
Такие допущения являются достоверными для отклонений, потому что кригинг (по крайней мере, как это практиковалось 20+ лет назад) почти всегда был локальной оценкой, основанной на выборе близлежащих данных в пределах движущихся поисковых областей.
Эти точки подтверждают впечатление, что внутренняя стационарность является чисто локальным свойством, предполагая, что на практике ее нужно держать только в пределах типичной окрестности поиска, а затем только приблизительно.
нет
Однако математически это действительно так , что ожидаемые различия должны все быть точно равна нулю, независимо от расстояния, На самом деле, если бы все, что вы предполагали, заключалось в том, что ожидаемые различия непрерывны в лаге , вы бы вообще ничего не предполагали! Это более слабое допущение было бы равносильно утверждению отсутствия структурных разрывов в ожидании (что даже не означало бы отсутствие структурных разрывов в реализации процесса), но в противном случае его нельзя было бы использовать для построения уравнений Кригинга или даже оцените вариограмму.|h|h
Чтобы оценить, насколько слабым (и практически бесполезным) может быть предположение о средней непрерывности, рассмотрим процесс на реальной линии, для которогоZ
Z(x)=U if x<0; Z(x)=−U otherwise
где имеет стандартное нормальное распределение. График реализации будет состоять из половины линии на высоте для отрицательного и еще одной линии на высоте для положительного .Uux−ux
Для любых и ,xh
E(Z(x)−Z(x−h))=E(Z(x))−E(Z(x−h))=E(±U)−E(±U)=0−0=0
все же почти наверняка , показывая, что почти все реализации этого процесса являются прерывистыми в , хотя среднее значение процесса непрерывно всюду.U≠−U0
интерпретация
Диггл и Рибейро обсуждают этот вопрос [на стр. 66]. Они говорят о собственных случайных функциях, для которых приращения предполагаются стационарными (а не только слабо стационарными):Z(x)−Z(x−h)
Собственные случайные функции охватывают более широкий класс моделей, чем стационарные случайные функции. Что касается пространственного прогнозирования, то основное различие между прогнозами, полученными из внутренних и стационарных моделей, состоит в том, что при использовании внутренних моделей прогноз в точке зависит от локального поведения данных; т.е. по наблюдаемым измерениям в местах, относительно близких кxxв то время как на предсказания стационарных моделей также влияет глобальное поведение. Один из способов понять это - помнить, что значение внутреннего процесса неопределенно. Как следствие, прогнозы, полученные из предполагаемой внутренней модели, имеют тенденцию колебаться вокруг локального среднего. Напротив, прогнозы, полученные из предполагаемой стационарной модели, имеют тенденцию возвращаться к глобальному среднему значению предполагаемой модели в областях, где данные являются редкими. Какой из этих двух типов поведения является более естественным, зависит от научного контекста, в котором используются модели.
Комментарий
Вместо этого, если вы хотите контролировать локальное поведение процесса, вы должны делать предположения о втором моменте приращений, . Например, когда это приближается к как , процесс является среднеквадратичным непрерывным. Когда существует процесс для которогоE([Z(x)−Z(x−h)]2)0h→0Z′
E([Z(x)−Z(x−h)−hZ′(x)]2)=O(h2)
для всех процесс дифференцируем в среднем квадрате (с производной ).Z ′xZ′
Ссылки
Питер Дж. Диггл и Пауло Дж. Рибейро младший, Геостатистика на основе моделей . Springer (2007)